Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7369 / 10858
↖ ↑ ↗
← S 50.429518°
W 18.083496°		 ← 1 556.43 m → S 50.429518°
W 18.061523°		 →
↑
1 556.18 m
↓
↑
1 556.18 m
↓
S 50.443513°
W 18.083496°		 ← 1 555.97 m →
2 421 735 m²		 S 50.443513°
W 18.061523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449798583984375 y=0.662750244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449798583984375 × 214)
    floor (0.449798583984375 × 16384)
    floor (7369.5)     		tx = 7369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662750244140625 × 214)
    floor (0.662750244140625 × 16384)
    floor (10858.5)     		ty = 10858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7369 / 10858 ti = "14/7369/10858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7369/10858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7369 ÷ 214
    7369 ÷ 16384     		x = 0.44976806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10858 ÷ 214
    10858 ÷ 16384     		y = 0.6627197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44976806640625 × 2 - 1) × π
    -0.1004638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31561655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6627197265625 × 2 - 1) × π
    -0.325439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.02239819509656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31561655} λ = -0.31561655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02239819509656))-π/2
    2×atan(0.359731199279272)-π/2
    2×0.345317599221323-π/2
    0.690635198442646-1.57079632675     		φ = -0.88016113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31561655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.083496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88016113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.429518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7369 KachelY 10858 -0.31561655 -0.88016113 -18.083496 -50.429518
    Oben rechts KachelX + 1 7370 KachelY 10858 -0.31523305 -0.88016113 -18.061523 -50.429518
    Unten links KachelX 7369 KachelY + 1 10859 -0.31561655 -0.88040539 -18.083496 -50.443513
    Unten rechts KachelX + 1 7370 KachelY + 1 10859 -0.31523305 -0.88040539 -18.061523 -50.443513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88016113--0.88040539) × R
    0.000244259999999996 × 6371000     		dl = 1556.18045999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88016113--0.88040539) × R
    0.000244259999999996 × 6371000     		dr = 1556.18045999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31561655--0.31523305) × cos(-0.88016113) × R
    0.000383499999999981 × 0.637026946772422 × 6371000     		do = 1556.43424296963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31561655--0.31523305) × cos(-0.88040539) × R
    0.000383499999999981 × 0.636838642017977 × 6371000     		du = 1555.97416201164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88016113)-sin(-0.88040539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637026946772422-0.636838642017977)×R²
    abs(-0.31523305--0.31561655)×0.000188304754444868×R²
    0.000383499999999981×0.000188304754444868×6371000²
    0.000383499999999981×0.000188304754444868×40589641000000     		ar = 2421734.58372641m²