Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73678 / 73748
↖ ↑ ↗
← S 21.993989°
E 22.362671°		 ← 283.14 m → S 21.993989°
E 22.365417°		 →
↑
283.13 m
↓
↑
283.13 m
↓
S 21.996535°
E 22.362671°		 ← 283.13 m →
80 164 m²		 S 21.996535°
E 22.365417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562122344970703 y=0.562656402587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562122344970703 × 217)
    floor (0.562122344970703 × 131072)
    floor (73678.5)     		tx = 73678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562656402587891 × 217)
    floor (0.562656402587891 × 131072)
    floor (73748.5)     		ty = 73748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73678 / 73748 ti = "17/73678/73748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73678/73748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73678 ÷ 217
    73678 ÷ 131072     		x = 0.562118530273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73748 ÷ 217
    73748 ÷ 131072     		y = 0.562652587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562118530273438 × 2 - 1) × π
    0.124237060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39030224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562652587890625 × 2 - 1) × π
    -0.12530517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.393657819679901
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39030224} λ = 0.39030224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.393657819679901))-π/2
    2×atan(0.674584846410944)-π/2
    2×0.593464405385775-π/2
    1.18692881077155-1.57079632675     		φ = -0.38386752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39030224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.362671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38386752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.993989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73678 KachelY 73748 0.39030224 -0.38386752 22.362671 -21.993989
    Oben rechts KachelX + 1 73679 KachelY 73748 0.39035017 -0.38386752 22.365417 -21.993989
    Unten links KachelX 73678 KachelY + 1 73749 0.39030224 -0.38391196 22.362671 -21.996535
    Unten rechts KachelX + 1 73679 KachelY + 1 73749 0.39035017 -0.38391196 22.365417 -21.996535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38386752--0.38391196) × R
    4.44399999999789e-05 × 6371000     		dl = 283.127239999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38386752--0.38391196) × R
    4.44399999999789e-05 × 6371000     		dr = 283.127239999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39030224-0.39035017) × cos(-0.38386752) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.927223151478951 × 6371000     		do = 283.138743798455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39030224-0.39035017) × cos(-0.38391196) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.927206507369385 × 6371000     		du = 283.133661319371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38386752)-sin(-0.38391196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927223151478951-0.927206507369385)×R²
    abs(0.39035017-0.39030224)×1.6644109566033e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.6644109566033e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.6644109566033e-05×40589641000000     		ar = 80163.5715878012m²