Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73670 / 73754
↖ ↑ ↗
← S 22.009268°
E 22.340698°		 ← 283.17 m → S 22.009268°
E 22.343445°		 →
↑
283.13 m
↓
↑
283.13 m
↓
S 22.011814°
E 22.340698°		 ← 283.16 m →
80 172 m²		 S 22.011814°
E 22.343445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562061309814453 y=0.562702178955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562061309814453 × 217)
    floor (0.562061309814453 × 131072)
    floor (73670.5)     		tx = 73670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562702178955078 × 217)
    floor (0.562702178955078 × 131072)
    floor (73754.5)     		ty = 73754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73670 / 73754 ti = "17/73670/73754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73670/73754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73670 ÷ 217
    73670 ÷ 131072     		x = 0.562057495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73754 ÷ 217
    73754 ÷ 131072     		y = 0.562698364257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562057495117188 × 2 - 1) × π
    0.124114990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.38991874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562698364257812 × 2 - 1) × π
    -0.125396728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.393945441077621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38991874} λ = 0.38991874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.393945441077621))-π/2
    2×atan(0.674390849274739)-π/2
    2×0.593331067959203-π/2
    1.18666213591841-1.57079632675     		φ = -0.38413419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38991874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.340698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38413419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.009268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73670 KachelY 73754 0.38991874 -0.38413419 22.340698 -22.009268
    Oben rechts KachelX + 1 73671 KachelY 73754 0.38996668 -0.38413419 22.343445 -22.009268
    Unten links KachelX 73670 KachelY + 1 73755 0.38991874 -0.38417863 22.340698 -22.011814
    Unten rechts KachelX + 1 73671 KachelY + 1 73755 0.38996668 -0.38417863 22.343445 -22.011814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38413419--0.38417863) × R
    4.44400000000345e-05 × 6371000     		dl = 283.12724000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38413419--0.38417863) × R
    4.44400000000345e-05 × 6371000     		dr = 283.12724000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38991874-0.38996668) × cos(-0.38413419) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.927123248112225 × 6371000     		do = 283.167304126022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38991874-0.38996668) × cos(-0.38417863) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.927106593014999 × 6371000     		du = 283.162217230627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38413419)-sin(-0.38417863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927123248112225-0.927106593014999)×R²
    abs(0.38996668-0.38991874)×1.6655097225371e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.6655097225371e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.6655097225371e-05×40589641000000     		ar = 80171.6571693751m²