Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73669 / 73801
↖ ↑ ↗
← S 22.128899°
E 22.337951°		 ← 282.93 m → S 22.128899°
E 22.340698°		 →
↑
282.87 m
↓
↑
282.87 m
↓
S 22.131443°
E 22.337951°		 ← 282.92 m →
80 032 m²		 S 22.131443°
E 22.340698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562053680419922 y=0.563060760498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562053680419922 × 217)
    floor (0.562053680419922 × 131072)
    floor (73669.5)     		tx = 73669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563060760498047 × 217)
    floor (0.563060760498047 × 131072)
    floor (73801.5)     		ty = 73801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73669 / 73801 ti = "17/73669/73801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73669/73801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73669 ÷ 217
    73669 ÷ 131072     		x = 0.562049865722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73801 ÷ 217
    73801 ÷ 131072     		y = 0.563056945800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562049865722656 × 2 - 1) × π
    0.124099731445312 × 3.1415926535     		Λ = 0.38987080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.563056945800781 × 2 - 1) × π
    -0.126113891601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.396198475359764
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38987080} λ = 0.38987080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.396198475359764))-π/2
    2×atan(0.672873133946107)-π/2
    2×0.592287089285899-π/2
    1.1845741785718-1.57079632675     		φ = -0.38622215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38987080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.337951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38622215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.128899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73669 KachelY 73801 0.38987080 -0.38622215 22.337951 -22.128899
    Oben rechts KachelX + 1 73670 KachelY 73801 0.38991874 -0.38622215 22.340698 -22.128899
    Unten links KachelX 73669 KachelY + 1 73802 0.38987080 -0.38626655 22.337951 -22.131443
    Unten rechts KachelX + 1 73670 KachelY + 1 73802 0.38991874 -0.38626655 22.340698 -22.131443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38622215--0.38626655) × R
    4.44e-05 × 6371000     		dl = 282.8724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38622215--0.38626655) × R
    4.44e-05 × 6371000     		dr = 282.8724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38987080-0.38991874) × cos(-0.38622215) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.926338751032029 × 6371000     		do = 282.927698524448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38987080-0.38991874) × cos(-0.38626655) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.926322025014465 × 6371000     		du = 282.922589968156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38622215)-sin(-0.38626655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926338751032029-0.926322025014465)×R²
    abs(0.38991874-0.38987080)×1.67260175636397e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67260175636397e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67260175636397e-05×40589641000000     		ar = 80031.7145864274m²