Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73666 / 73789
↖ ↑ ↗
← S 22.098365°
E 22.329712°		 ← 282.99 m → S 22.098365°
E 22.332458°		 →
↑
283 m
↓
↑
283 m
↓
S 22.100910°
E 22.329712°		 ← 282.98 m →
80 085 m²		 S 22.100910°
E 22.332458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562030792236328 y=0.562969207763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562030792236328 × 217)
    floor (0.562030792236328 × 131072)
    floor (73666.5)     		tx = 73666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562969207763672 × 217)
    floor (0.562969207763672 × 131072)
    floor (73789.5)     		ty = 73789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73666 / 73789 ti = "17/73666/73789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73666/73789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73666 ÷ 217
    73666 ÷ 131072     		x = 0.562026977539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73789 ÷ 217
    73789 ÷ 131072     		y = 0.562965393066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562026977539062 × 2 - 1) × π
    0.124053955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.38972699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562965393066406 × 2 - 1) × π
    -0.125930786132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.395623232564323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38972699} λ = 0.38972699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.395623232564323))-π/2
    2×atan(0.673260310718303)-π/2
    2×0.592553552988662-π/2
    1.18510710597732-1.57079632675     		φ = -0.38568922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38972699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.329712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38568922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.098365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73666 KachelY 73789 0.38972699 -0.38568922 22.329712 -22.098365
    Oben rechts KachelX + 1 73667 KachelY 73789 0.38977493 -0.38568922 22.332458 -22.098365
    Unten links KachelX 73666 KachelY + 1 73790 0.38972699 -0.38573364 22.329712 -22.100910
    Unten rechts KachelX + 1 73667 KachelY + 1 73790 0.38977493 -0.38573364 22.332458 -22.100910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38568922--0.38573364) × R
    4.44199999999895e-05 × 6371000     		dl = 282.999819999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38568922--0.38573364) × R
    4.44199999999895e-05 × 6371000     		dr = 282.999819999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38972699-0.38977493) × cos(-0.38568922) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.926539369699611 × 6371000     		do = 282.988972629779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38972699-0.38977493) × cos(-0.38573364) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.926522658078557 × 6371000     		du = 282.983868470552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38568922)-sin(-0.38573364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926539369699611-0.926522658078557)×R²
    abs(0.38977493-0.38972699)×1.67116210538776e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.67116210538776e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.67116210538776e-05×40589641000000     		ar = 80085.1060912533m²