Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73666 / 73788
↖ ↑ ↗
← S 22.095819°
E 22.329712°		 ← 282.99 m → S 22.095819°
E 22.332458°		 →
↑
283 m
↓
↑
283 m
↓
S 22.098365°
E 22.329712°		 ← 282.99 m →
80 087 m²		 S 22.098365°
E 22.332458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562030792236328 y=0.562961578369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562030792236328 × 217)
    floor (0.562030792236328 × 131072)
    floor (73666.5)     		tx = 73666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562961578369141 × 217)
    floor (0.562961578369141 × 131072)
    floor (73788.5)     		ty = 73788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73666 / 73788 ti = "17/73666/73788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73666/73788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73666 ÷ 217
    73666 ÷ 131072     		x = 0.562026977539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73788 ÷ 217
    73788 ÷ 131072     		y = 0.562957763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562026977539062 × 2 - 1) × π
    0.124053955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.38972699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562957763671875 × 2 - 1) × π
    -0.12591552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.395575295664703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38972699} λ = 0.38972699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.395575295664703))-π/2
    2×atan(0.673292585503807)-π/2
    2×0.592575760901272-π/2
    1.18515152180254-1.57079632675     		φ = -0.38564480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38972699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.329712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38564480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.095819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73666 KachelY 73788 0.38972699 -0.38564480 22.329712 -22.095819
    Oben rechts KachelX + 1 73667 KachelY 73788 0.38977493 -0.38564480 22.332458 -22.095819
    Unten links KachelX 73666 KachelY + 1 73789 0.38972699 -0.38568922 22.329712 -22.098365
    Unten rechts KachelX + 1 73667 KachelY + 1 73789 0.38977493 -0.38568922 22.332458 -22.098365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38564480--0.38568922) × R
    4.44199999999895e-05 × 6371000     		dl = 282.999819999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38564480--0.38568922) × R
    4.44199999999895e-05 × 6371000     		dr = 282.999819999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38972699-0.38977493) × cos(-0.38564480) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.926556079492476 × 6371000     		do = 282.994076230631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38972699-0.38977493) × cos(-0.38568922) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.926539369699611 × 6371000     		du = 282.988972629779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38564480)-sin(-0.38568922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926556079492476-0.926539369699611)×R²
    abs(0.38977493-0.38972699)×1.67097928652771e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.67097928652771e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.67097928652771e-05×40589641000000     		ar = 80086.5504884158m²