Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73665 / 73794
↖ ↑ ↗
← S 22.111088°
E 22.326966°		 ← 282.90 m → S 22.111088°
E 22.329712°		 →
↑
282.94 m
↓
↑
282.94 m
↓
S 22.113633°
E 22.326966°		 ← 282.90 m →
80 043 m²		 S 22.113633°
E 22.329712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562023162841797 y=0.563007354736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562023162841797 × 217)
    floor (0.562023162841797 × 131072)
    floor (73665.5)     		tx = 73665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563007354736328 × 217)
    floor (0.563007354736328 × 131072)
    floor (73794.5)     		ty = 73794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73665 / 73794 ti = "17/73665/73794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73665/73794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73665 ÷ 217
    73665 ÷ 131072     		x = 0.562019348144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73794 ÷ 217
    73794 ÷ 131072     		y = 0.563003540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562019348144531 × 2 - 1) × π
    0.124038696289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.38967906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.563003540039062 × 2 - 1) × π
    -0.126007080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.395862917062424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38967906} λ = 0.38967906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.395862917062424))-π/2
    2×atan(0.673098959996044)-π/2
    2×0.592442519433668-π/2
    1.18488503886734-1.57079632675     		φ = -0.38591129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38967906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.326966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38591129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.111088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73665 KachelY 73794 0.38967906 -0.38591129 22.326966 -22.111088
    Oben rechts KachelX + 1 73666 KachelY 73794 0.38972699 -0.38591129 22.329712 -22.111088
    Unten links KachelX 73665 KachelY + 1 73795 0.38967906 -0.38595570 22.326966 -22.113633
    Unten rechts KachelX + 1 73666 KachelY + 1 73795 0.38972699 -0.38595570 22.329712 -22.113633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38591129--0.38595570) × R
    4.44099999999947e-05 × 6371000     		dl = 282.936109999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38591129--0.38595570) × R
    4.44099999999947e-05 × 6371000     		dr = 282.936109999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38967906-0.38972699) × cos(-0.38591129) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.926455804605223 × 6371000     		do = 282.90442519938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38967906-0.38972699) × cos(-0.38595570) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.926439087609403 × 6371000     		du = 282.899320463601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38591129)-sin(-0.38595570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926455804605223-0.926439087609403)×R²
    abs(0.38972699-0.38967906)×1.67169958202873e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.67169958202873e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.67169958202873e-05×40589641000000     		ar = 80043.1554237601m²