Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73663 / 73809
↖ ↑ ↗
← S 22.149252°
E 22.321472°		 ← 282.89 m → S 22.149252°
E 22.324219°		 →
↑
282.87 m
↓
↑
282.87 m
↓
S 22.151796°
E 22.321472°		 ← 282.88 m →
80 020 m²		 S 22.151796°
E 22.324219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562007904052734 y=0.563121795654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562007904052734 × 217)
    floor (0.562007904052734 × 131072)
    floor (73663.5)     		tx = 73663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563121795654297 × 217)
    floor (0.563121795654297 × 131072)
    floor (73809.5)     		ty = 73809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73663 / 73809 ti = "17/73663/73809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73663/73809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73663 ÷ 217
    73663 ÷ 131072     		x = 0.562004089355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73809 ÷ 217
    73809 ÷ 131072     		y = 0.563117980957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562004089355469 × 2 - 1) × π
    0.124008178710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.38958318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.563117980957031 × 2 - 1) × π
    -0.126235961914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.396581970556725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38958318} λ = 0.38958318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.396581970556725))-π/2
    2×atan(0.672615139803994)-π/2
    2×0.592109478887671-π/2
    1.18421895777534-1.57079632675     		φ = -0.38657737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38958318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.321472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38657737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.149252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73663 KachelY 73809 0.38958318 -0.38657737 22.321472 -22.149252
    Oben rechts KachelX + 1 73664 KachelY 73809 0.38963112 -0.38657737 22.324219 -22.149252
    Unten links KachelX 73663 KachelY + 1 73810 0.38958318 -0.38662177 22.321472 -22.151796
    Unten rechts KachelX + 1 73664 KachelY + 1 73810 0.38963112 -0.38662177 22.324219 -22.151796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38657737--0.38662177) × R
    4.44e-05 × 6371000     		dl = 282.8724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38657737--0.38662177) × R
    4.44e-05 × 6371000     		dr = 282.8724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38958318-0.38963112) × cos(-0.38657737) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.926204884221758 × 6371000     		do = 282.886812155187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38958318-0.38963112) × cos(-0.38662177) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.926188143595382 × 6371000     		du = 282.881699136988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38657737)-sin(-0.38662177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926204884221758-0.926188143595382)×R²
    abs(0.38963112-0.38958318)×1.67406263760217e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.67406263760217e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.67406263760217e-05×40589641000000     		ar = 80020.1483299893m²