Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73661 / 73805
↖ ↑ ↗
← S 22.139075°
E 22.315979°		 ← 282.91 m → S 22.139075°
E 22.318726°		 →
↑
282.94 m
↓
↑
282.94 m
↓
S 22.141620°
E 22.315979°		 ← 282.90 m →
80 044 m²		 S 22.141620°
E 22.318726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561992645263672 y=0.563091278076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561992645263672 × 217)
    floor (0.561992645263672 × 131072)
    floor (73661.5)     		tx = 73661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563091278076172 × 217)
    floor (0.563091278076172 × 131072)
    floor (73805.5)     		ty = 73805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73661 / 73805 ti = "17/73661/73805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73661/73805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73661 ÷ 217
    73661 ÷ 131072     		x = 0.561988830566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73805 ÷ 217
    73805 ÷ 131072     		y = 0.563087463378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561988830566406 × 2 - 1) × π
    0.123977661132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.38948731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.563087463378906 × 2 - 1) × π
    -0.126174926757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.396390222958244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38948731} λ = 0.38948731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.396390222958244))-π/2
    2×atan(0.672744124507611)-π/2
    2×0.592198280878198-π/2
    1.1843965617564-1.57079632675     		φ = -0.38639976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38948731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.315979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38639976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.139075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73661 KachelY 73805 0.38948731 -0.38639976 22.315979 -22.139075
    Oben rechts KachelX + 1 73662 KachelY 73805 0.38953525 -0.38639976 22.318726 -22.139075
    Unten links KachelX 73661 KachelY + 1 73806 0.38948731 -0.38644417 22.315979 -22.141620
    Unten rechts KachelX + 1 73662 KachelY + 1 73806 0.38953525 -0.38644417 22.318726 -22.141620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38639976--0.38644417) × R
    4.44099999999947e-05 × 6371000     		dl = 282.936109999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38639976--0.38644417) × R
    4.44099999999947e-05 × 6371000     		dr = 282.936109999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38948731-0.38953525) × cos(-0.38639976) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.92627183223666 × 6371000     		do = 282.90725980218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38948731-0.38953525) × cos(-0.38644417) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.926255095145454 × 6371000     		du = 282.902147863713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38639976)-sin(-0.38644417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92627183223666-0.926255095145454)×R²
    abs(0.38953525-0.38948731)×1.67370912057541e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.67370912057541e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.67370912057541e-05×40589641000000     		ar = 80043.9564163259m²