Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73661 / 73797
↖ ↑ ↗
← S 22.118722°
E 22.315979°		 ← 282.95 m → S 22.118722°
E 22.318726°		 →
↑
282.94 m
↓
↑
282.94 m
↓
S 22.121266°
E 22.315979°		 ← 282.94 m →
80 056 m²		 S 22.121266°
E 22.318726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561992645263672 y=0.563030242919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561992645263672 × 217)
    floor (0.561992645263672 × 131072)
    floor (73661.5)     		tx = 73661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563030242919922 × 217)
    floor (0.563030242919922 × 131072)
    floor (73797.5)     		ty = 73797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73661 / 73797 ti = "17/73661/73797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73661/73797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73661 ÷ 217
    73661 ÷ 131072     		x = 0.561988830566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73797 ÷ 217
    73797 ÷ 131072     		y = 0.563026428222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561988830566406 × 2 - 1) × π
    0.123977661132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.38948731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.563026428222656 × 2 - 1) × π
    -0.126052856445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.396006727761284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38948731} λ = 0.38948731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.396006727761284))-π/2
    2×atan(0.673002168124225)-π/2
    2×0.592375904108436-π/2
    1.18475180821687-1.57079632675     		φ = -0.38604452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38948731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.315979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38604452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.118722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73661 KachelY 73797 0.38948731 -0.38604452 22.315979 -22.118722
    Oben rechts KachelX + 1 73662 KachelY 73797 0.38953525 -0.38604452 22.318726 -22.118722
    Unten links KachelX 73661 KachelY + 1 73798 0.38948731 -0.38608893 22.315979 -22.121266
    Unten rechts KachelX + 1 73662 KachelY + 1 73798 0.38953525 -0.38608893 22.318726 -22.121266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38604452--0.38608893) × R
    4.44099999999947e-05 × 6371000     		dl = 282.936109999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38604452--0.38608893) × R
    4.44099999999947e-05 × 6371000     		dr = 282.936109999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38948731-0.38953525) × cos(-0.38604452) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.926405648136292 × 6371000     		do = 282.948130622349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38948731-0.38953525) × cos(-0.38608893) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.926388925659068 × 6371000     		du = 282.943023147368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38604452)-sin(-0.38608893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926405648136292-0.926388925659068)×R²
    abs(0.38953525-0.38948731)×1.67224772245067e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.67224772245067e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.67224772245067e-05×40589641000000     		ar = 80055.5208785807m²