Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7364 / 10885
↖ ↑ ↗
← S 50.805935°
W 18.193359°		 ← 1 543.99 m → S 50.805935°
W 18.171387°		 →
↑
1 543.76 m
↓
↑
1 543.76 m
↓
S 50.819818°
W 18.193359°		 ← 1 543.53 m →
2 383 187 m²		 S 50.819818°
W 18.171387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449493408203125 y=0.664398193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449493408203125 × 214)
    floor (0.449493408203125 × 16384)
    floor (7364.5)     		tx = 7364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664398193359375 × 214)
    floor (0.664398193359375 × 16384)
    floor (10885.5)     		ty = 10885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7364 / 10885 ti = "14/7364/10885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7364/10885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7364 ÷ 214
    7364 ÷ 16384     		x = 0.449462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10885 ÷ 214
    10885 ÷ 16384     		y = 0.66436767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449462890625 × 2 - 1) × π
    -0.10107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31753402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66436767578125 × 2 - 1) × π
    -0.3287353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03275256541449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31753402} λ = -0.31753402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03275256541449))-π/2
    2×atan(0.356025626769091)-π/2
    2×0.342032743139052-π/2
    0.684065486278105-1.57079632675     		φ = -0.88673084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31753402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.193359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88673084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.805935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7364 KachelY 10885 -0.31753402 -0.88673084 -18.193359 -50.805935
    Oben rechts KachelX + 1 7365 KachelY 10885 -0.31715053 -0.88673084 -18.171387 -50.805935
    Unten links KachelX 7364 KachelY + 1 10886 -0.31753402 -0.88697315 -18.193359 -50.819818
    Unten rechts KachelX + 1 7365 KachelY + 1 10886 -0.31715053 -0.88697315 -18.171387 -50.819818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88673084--0.88697315) × R
    0.000242309999999968 × 6371000     		dl = 1543.75700999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88673084--0.88697315) × R
    0.000242309999999968 × 6371000     		dr = 1543.75700999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31753402--0.31715053) × cos(-0.88673084) × R
    0.000383489999999986 × 0.631949030534559 × 6371000     		do = 1543.98721792814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31753402--0.31715053) × cos(-0.88697315) × R
    0.000383489999999986 × 0.631761219323209 × 6371000     		du = 1543.52835479884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88673084)-sin(-0.88697315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631949030534559-0.631761219323209)×R²
    abs(-0.31715053--0.31753402)×0.00018781121134992×R²
    0.000383489999999986×0.00018781121134992×6371000²
    0.000383489999999986×0.00018781121134992×40589641000000     		ar = 2383186.9161001m²