Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73639 / 73833
↖ ↑ ↗
← S 22.210292°
E 22.255554°		 ← 282.70 m → S 22.210292°
E 22.258301°		 →
↑
282.74 m
↓
↑
282.74 m
↓
S 22.212835°
E 22.255554°		 ← 282.70 m →
79 933 m²		 S 22.212835°
E 22.258301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561824798583984 y=0.563304901123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561824798583984 × 217)
    floor (0.561824798583984 × 131072)
    floor (73639.5)     		tx = 73639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563304901123047 × 217)
    floor (0.563304901123047 × 131072)
    floor (73833.5)     		ty = 73833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73639 / 73833 ti = "17/73639/73833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73639/73833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73639 ÷ 217
    73639 ÷ 131072     		x = 0.561820983886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73833 ÷ 217
    73833 ÷ 131072     		y = 0.563301086425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561820983886719 × 2 - 1) × π
    0.123641967773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.38843270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.563301086425781 × 2 - 1) × π
    -0.126602172851562 × 3.1415926535     		Φ = -0.397732456147606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38843270} λ = 0.38843270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.397732456147606))-π/2
    2×atan(0.671841750749229)-π/2
    2×0.591576801835985-π/2
    1.18315360367197-1.57079632675     		φ = -0.38764272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38843270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.255554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38764272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.210292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73639 KachelY 73833 0.38843270 -0.38764272 22.255554 -22.210292
    Oben rechts KachelX + 1 73640 KachelY 73833 0.38848063 -0.38764272 22.258301 -22.210292
    Unten links KachelX 73639 KachelY + 1 73834 0.38843270 -0.38768710 22.255554 -22.212835
    Unten rechts KachelX + 1 73640 KachelY + 1 73834 0.38848063 -0.38768710 22.258301 -22.212835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38764272--0.38768710) × R
    4.43800000000105e-05 × 6371000     		dl = 282.744980000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38764272--0.38768710) × R
    4.43800000000105e-05 × 6371000     		dr = 282.744980000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38843270-0.38848063) × cos(-0.38764272) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.925802699822704 × 6371000     		do = 282.704991797187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38843270-0.38848063) × cos(-0.38768710) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.925785922956278 × 6371000     		du = 282.699868779198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38764272)-sin(-0.38768710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925802699822704-0.925785922956278)×R²
    abs(0.38848063-0.38843270)×1.67768664254275e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.67768664254275e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.67768664254275e-05×40589641000000     		ar = 79932.6930109612m²