Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73639 / 73831
↖ ↑ ↗
← S 22.205206°
E 22.255554°		 ← 282.72 m → S 22.205206°
E 22.258301°		 →
↑
282.74 m
↓
↑
282.74 m
↓
S 22.207749°
E 22.255554°		 ← 282.71 m →
79 936 m²		 S 22.207749°
E 22.258301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561824798583984 y=0.563289642333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561824798583984 × 217)
    floor (0.561824798583984 × 131072)
    floor (73639.5)     		tx = 73639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563289642333984 × 217)
    floor (0.563289642333984 × 131072)
    floor (73831.5)     		ty = 73831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73639 / 73831 ti = "17/73639/73831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73639/73831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73639 ÷ 217
    73639 ÷ 131072     		x = 0.561820983886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73831 ÷ 217
    73831 ÷ 131072     		y = 0.563285827636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561820983886719 × 2 - 1) × π
    0.123641967773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.38843270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.563285827636719 × 2 - 1) × π
    -0.126571655273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.397636582348366
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38843270} λ = 0.38843270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.397636582348366))-π/2
    2×atan(0.671906165858173)-π/2
    2×0.591621182751158-π/2
    1.18324236550232-1.57079632675     		φ = -0.38755396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38843270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.255554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38755396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.205206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73639 KachelY 73831 0.38843270 -0.38755396 22.255554 -22.205206
    Oben rechts KachelX + 1 73640 KachelY 73831 0.38848063 -0.38755396 22.258301 -22.205206
    Unten links KachelX 73639 KachelY + 1 73832 0.38843270 -0.38759834 22.255554 -22.207749
    Unten rechts KachelX + 1 73640 KachelY + 1 73832 0.38848063 -0.38759834 22.258301 -22.207749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38755396--0.38759834) × R
    4.43800000000105e-05 × 6371000     		dl = 282.744980000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38755396--0.38759834) × R
    4.43800000000105e-05 × 6371000     		dr = 282.744980000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38843270-0.38848063) × cos(-0.38755396) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.925836248085182 × 6371000     		do = 282.71523616272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38843270-0.38848063) × cos(-0.38759834) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.925819474865683 × 6371000     		du = 282.710114258364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38755396)-sin(-0.38759834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925836248085182-0.925819474865683)×R²
    abs(0.38848063-0.38843270)×1.67732194993331e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.67732194993331e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.67732194993331e-05×40589641000000     		ar = 79935.5897112878m²