Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7360 / 11133
↖ ↑ ↗
← S 54.123822°
W 18.281250°		 ← 1 431.81 m → S 54.123822°
W 18.259277°		 →
↑
1 431.63 m
↓
↑
1 431.63 m
↓
S 54.136696°
W 18.281250°		 ← 1 431.37 m →
2 049 501 m²		 S 54.136696°
W 18.259277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449249267578125 y=0.679534912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449249267578125 × 214)
    floor (0.449249267578125 × 16384)
    floor (7360.5)     		tx = 7360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679534912109375 × 214)
    floor (0.679534912109375 × 16384)
    floor (11133.5)     		ty = 11133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7360 / 11133 ti = "14/7360/11133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7360/11133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7360 ÷ 214
    7360 ÷ 16384     		x = 0.44921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11133 ÷ 214
    11133 ÷ 16384     		y = 0.67950439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44921875 × 2 - 1) × π
    -0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67950439453125 × 2 - 1) × π
    -0.3590087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.12785937426068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31906800} λ = -0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12785937426068))-π/2
    2×atan(0.323725490368173)-π/2
    2×0.313078717189182-π/2
    0.626157434378364-1.57079632675     		φ = -0.94463889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94463889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.123822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7360 KachelY 11133 -0.31906800 -0.94463889 -18.281250 -54.123822
    Oben rechts KachelX + 1 7361 KachelY 11133 -0.31868451 -0.94463889 -18.259277 -54.123822
    Unten links KachelX 7360 KachelY + 1 11134 -0.31906800 -0.94486360 -18.281250 -54.136696
    Unten rechts KachelX + 1 7361 KachelY + 1 11134 -0.31868451 -0.94486360 -18.259277 -54.136696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94463889--0.94486360) × R
    0.000224710000000017 × 6371000     		dl = 1431.62741000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94463889--0.94486360) × R
    0.000224710000000017 × 6371000     		dr = 1431.62741000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31906800--0.31868451) × cos(-0.94463889) × R
    0.000383490000000042 × 0.586035519369062 × 6371000     		do = 1431.81064838798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31906800--0.31868451) × cos(-0.94486360) × R
    0.000383490000000042 × 0.585853425350789 × 6371000     		du = 1431.36575358937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94463889)-sin(-0.94486360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586035519369062-0.585853425350789)×R²
    abs(-0.31868451--0.31906800)×0.00018209401827296×R²
    0.000383490000000042×0.00018209401827296×6371000²
    0.000383490000000042×0.00018209401827296×40589641000000     		ar = 2049500.91699192m²