Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7356 / 11149
↖ ↑ ↗
← S 54.329338°
W 18.369140°		 ← 1 424.70 m → S 54.329338°
W 18.347168°		 →
↑
1 424.49 m
↓
↑
1 424.49 m
↓
S 54.342149°
W 18.369140°		 ← 1 424.26 m →
2 029 158 m²		 S 54.342149°
W 18.347168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449005126953125 y=0.680511474609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449005126953125 × 214)
    floor (0.449005126953125 × 16384)
    floor (7356.5)     		tx = 7356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680511474609375 × 214)
    floor (0.680511474609375 × 16384)
    floor (11149.5)     		ty = 11149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7356 / 11149 ti = "14/7356/11149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7356/11149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7356 ÷ 214
    7356 ÷ 16384     		x = 0.448974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11149 ÷ 214
    11149 ÷ 16384     		y = 0.68048095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448974609375 × 2 - 1) × π
    -0.10205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32060198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68048095703125 × 2 - 1) × π
    -0.3609619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.13399529741205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32060198} λ = -0.32060198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13399529741205))-π/2
    2×atan(0.321745217251995)-π/2
    2×0.31128524872138-π/2
    0.62257049744276-1.57079632675     		φ = -0.94822583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32060198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.369140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94822583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.329338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7356 KachelY 11149 -0.32060198 -0.94822583 -18.369140 -54.329338
    Oben rechts KachelX + 1 7357 KachelY 11149 -0.32021849 -0.94822583 -18.347168 -54.329338
    Unten links KachelX 7356 KachelY + 1 11150 -0.32060198 -0.94844942 -18.369140 -54.342149
    Unten rechts KachelX + 1 7357 KachelY + 1 11150 -0.32021849 -0.94844942 -18.347168 -54.342149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94822583--0.94844942) × R
    0.00022358999999994 × 6371000     		dl = 1424.49188999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94822583--0.94844942) × R
    0.00022358999999994 × 6371000     		dr = 1424.49188999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32060198--0.32021849) × cos(-0.94822583) × R
    0.000383489999999986 × 0.583125310617289 × 6371000     		do = 1424.70038332345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32060198--0.32021849) × cos(-0.94844942) × R
    0.000383489999999986 × 0.582943655502188 × 6371000     		du = 1424.25656085956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94822583)-sin(-0.94844942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583125310617289-0.582943655502188)×R²
    abs(-0.32021849--0.32060198)×0.000181655115101376×R²
    0.000383489999999986×0.000181655115101376×6371000²
    0.000383489999999986×0.000181655115101376×40589641000000     		ar = 2029158.03942809m²