Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7355 / 11145
↖ ↑ ↗
← S 54.278055°
W 18.391113°		 ← 1 426.51 m → S 54.278055°
W 18.369140°		 →
↑
1 426.28 m
↓
↑
1 426.28 m
↓
S 54.290882°
W 18.391113°		 ← 1 426.07 m →
2 034 285 m²		 S 54.290882°
W 18.369140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448944091796875 y=0.680267333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448944091796875 × 214)
    floor (0.448944091796875 × 16384)
    floor (7355.5)     		tx = 7355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680267333984375 × 214)
    floor (0.680267333984375 × 16384)
    floor (11145.5)     		ty = 11145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7355 / 11145 ti = "14/7355/11145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7355/11145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7355 ÷ 214
    7355 ÷ 16384     		x = 0.44891357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11145 ÷ 214
    11145 ÷ 16384     		y = 0.68023681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44891357421875 × 2 - 1) × π
    -0.1021728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32098548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68023681640625 × 2 - 1) × π
    -0.3604736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.13246131662421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32098548} λ = -0.32098548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13246131662421))-π/2
    2×atan(0.322239146976338)-π/2
    2×0.311732778967198-π/2
    0.623465557934395-1.57079632675     		φ = -0.94733077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32098548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.391113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94733077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.278055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7355 KachelY 11145 -0.32098548 -0.94733077 -18.391113 -54.278055
    Oben rechts KachelX + 1 7356 KachelY 11145 -0.32060198 -0.94733077 -18.369140 -54.278055
    Unten links KachelX 7355 KachelY + 1 11146 -0.32098548 -0.94755464 -18.391113 -54.290882
    Unten rechts KachelX + 1 7356 KachelY + 1 11146 -0.32060198 -0.94755464 -18.369140 -54.290882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94733077--0.94755464) × R
    0.000223870000000015 × 6371000     		dl = 1426.27577000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94733077--0.94755464) × R
    0.000223870000000015 × 6371000     		dr = 1426.27577000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32098548--0.32060198) × cos(-0.94733077) × R
    0.000383499999999981 × 0.58385220777017 × 6371000     		do = 1426.51354642232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32098548--0.32060198) × cos(-0.94755464) × R
    0.000383499999999981 × 0.58367044205109 × 6371000     		du = 1426.06944214885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94733077)-sin(-0.94755464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58385220777017-0.58367044205109)×R²
    abs(-0.32060198--0.32098548)×0.000181765719080351×R²
    0.000383499999999981×0.000181765719080351×6371000²
    0.000383499999999981×0.000181765719080351×40589641000000     		ar = 2034285.00775326m²