Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7355 / 11125
↖ ↑ ↗
← S 54.020679°
W 18.391113°		 ← 1 435.41 m → S 54.020679°
W 18.369140°		 →
↑
1 435.20 m
↓
↑
1 435.20 m
↓
S 54.033586°
W 18.391113°		 ← 1 434.96 m →
2 059 773 m²		 S 54.033586°
W 18.369140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448944091796875 y=0.679046630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448944091796875 × 214)
    floor (0.448944091796875 × 16384)
    floor (7355.5)     		tx = 7355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679046630859375 × 214)
    floor (0.679046630859375 × 16384)
    floor (11125.5)     		ty = 11125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7355 / 11125 ti = "14/7355/11125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7355/11125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7355 ÷ 214
    7355 ÷ 16384     		x = 0.44891357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11125 ÷ 214
    11125 ÷ 16384     		y = 0.67901611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44891357421875 × 2 - 1) × π
    -0.1021728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32098548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67901611328125 × 2 - 1) × π
    -0.3580322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.124791412685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32098548} λ = -0.32098548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.124791412685))-π/2
    2×atan(0.324720192807914)-π/2
    2×0.313978802236795-π/2
    0.627957604473591-1.57079632675     		φ = -0.94283872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32098548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.391113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94283872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.020679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7355 KachelY 11125 -0.32098548 -0.94283872 -18.391113 -54.020679
    Oben rechts KachelX + 1 7356 KachelY 11125 -0.32060198 -0.94283872 -18.369140 -54.020679
    Unten links KachelX 7355 KachelY + 1 11126 -0.32098548 -0.94306399 -18.391113 -54.033586
    Unten rechts KachelX + 1 7356 KachelY + 1 11126 -0.32060198 -0.94306399 -18.369140 -54.033586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94283872--0.94306399) × R
    0.000225269999999944 × 6371000     		dl = 1435.19516999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94283872--0.94306399) × R
    0.000225269999999944 × 6371000     		dr = 1435.19516999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32098548--0.32060198) × cos(-0.94283872) × R
    0.000383499999999981 × 0.587493220427139 × 6371000     		do = 1435.40955436532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32098548--0.32060198) × cos(-0.94306399) × R
    0.000383499999999981 × 0.587310910485521 × 6371000     		du = 1434.96412040463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94283872)-sin(-0.94306399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587493220427139-0.587310910485521)×R²
    abs(-0.32060198--0.32098548)×0.000182309941618497×R²
    0.000383499999999981×0.000182309941618497×6371000²
    0.000383499999999981×0.000182309941618497×40589641000000     		ar = 2059773.22577241m²