Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7354 / 11163
↖ ↑ ↗
← S 54.508327°
W 18.413086°		 ← 1 418.53 m → S 54.508327°
W 18.391113°		 →
↑
1 418.25 m
↓
↑
1 418.25 m
↓
S 54.521081°
W 18.413086°		 ← 1 418.09 m →
2 011 514 m²		 S 54.521081°
W 18.391113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448883056640625 y=0.681365966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448883056640625 × 214)
    floor (0.448883056640625 × 16384)
    floor (7354.5)     		tx = 7354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681365966796875 × 214)
    floor (0.681365966796875 × 16384)
    floor (11163.5)     		ty = 11163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7354 / 11163 ti = "14/7354/11163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7354/11163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7354 ÷ 214
    7354 ÷ 16384     		x = 0.4488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11163 ÷ 214
    11163 ÷ 16384     		y = 0.68133544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4488525390625 × 2 - 1) × π
    -0.102294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32136898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68133544921875 × 2 - 1) × π
    -0.3626708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13936423016949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32136898} λ = -0.32136898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13936423016949))-π/2
    2×atan(0.320022417751245)-π/2
    2×0.309723279815826-π/2
    0.619446559631652-1.57079632675     		φ = -0.95134977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32136898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.413086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95134977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.508327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7354 KachelY 11163 -0.32136898 -0.95134977 -18.413086 -54.508327
    Oben rechts KachelX + 1 7355 KachelY 11163 -0.32098548 -0.95134977 -18.391113 -54.508327
    Unten links KachelX 7354 KachelY + 1 11164 -0.32136898 -0.95157238 -18.413086 -54.521081
    Unten rechts KachelX + 1 7355 KachelY + 1 11164 -0.32098548 -0.95157238 -18.391113 -54.521081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95134977--0.95157238) × R
    0.000222610000000012 × 6371000     		dl = 1418.24831000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95134977--0.95157238) × R
    0.000222610000000012 × 6371000     		dr = 1418.24831000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32136898--0.32098548) × cos(-0.95134977) × R
    0.000383500000000037 × 0.580584636073327 × 6371000     		do = 1418.52995874842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32136898--0.32098548) × cos(-0.95157238) × R
    0.000383500000000037 × 0.580403372649151 × 6371000     		du = 1418.08708172129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95134977)-sin(-0.95157238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580584636073327-0.580403372649151)×R²
    abs(-0.32098548--0.32136898)×0.000181263424176237×R²
    0.000383500000000037×0.000181263424176237×6371000²
    0.000383500000000037×0.000181263424176237×40589641000000     		ar = 2011513.67018777m²