Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7354 / 11143
↖ ↑ ↗
← S 54.252389°
W 18.413086°		 ← 1 427.40 m → S 54.252389°
W 18.391113°		 →
↑
1 427.17 m
↓
↑
1 427.17 m
↓
S 54.265224°
W 18.413086°		 ← 1 426.96 m →
2 036 825 m²		 S 54.265224°
W 18.391113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448883056640625 y=0.680145263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448883056640625 × 214)
    floor (0.448883056640625 × 16384)
    floor (7354.5)     		tx = 7354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680145263671875 × 214)
    floor (0.680145263671875 × 16384)
    floor (11143.5)     		ty = 11143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7354 / 11143 ti = "14/7354/11143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7354/11143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7354 ÷ 214
    7354 ÷ 16384     		x = 0.4488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11143 ÷ 214
    11143 ÷ 16384     		y = 0.68011474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4488525390625 × 2 - 1) × π
    -0.102294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32136898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68011474609375 × 2 - 1) × π
    -0.3602294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13169432623029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32136898} λ = -0.32136898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13169432623029))-π/2
    2×atan(0.32248639611335)-π/2
    2×0.311956753203367-π/2
    0.623913506406733-1.57079632675     		φ = -0.94688282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32136898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.413086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94688282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.252389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7354 KachelY 11143 -0.32136898 -0.94688282 -18.413086 -54.252389
    Oben rechts KachelX + 1 7355 KachelY 11143 -0.32098548 -0.94688282 -18.391113 -54.252389
    Unten links KachelX 7354 KachelY + 1 11144 -0.32136898 -0.94710683 -18.413086 -54.265224
    Unten rechts KachelX + 1 7355 KachelY + 1 11144 -0.32098548 -0.94710683 -18.391113 -54.265224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94688282--0.94710683) × R
    0.000224009999999941 × 6371000     		dl = 1427.16770999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94688282--0.94710683) × R
    0.000224009999999941 × 6371000     		dr = 1427.16770999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32136898--0.32098548) × cos(-0.94688282) × R
    0.000383500000000037 × 0.584215821850764 × 6371000     		do = 1427.40195688794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32136898--0.32098548) × cos(-0.94710683) × R
    0.000383500000000037 × 0.584034001048921 × 6371000     		du = 1426.95771803194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94688282)-sin(-0.94710683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584215821850764-0.584034001048921)×R²
    abs(-0.32098548--0.32136898)×0.000181820801843258×R²
    0.000383500000000037×0.000181820801843258×6371000²
    0.000383500000000037×0.000181820801843258×40589641000000     		ar = 2036824.98890224m²