Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7339 / 11026
↖ ↑ ↗
← S 52.722986°
W 18.742676°		 ← 1 479.78 m → S 52.722986°
W 18.720703°		 →
↑
1 479.54 m
↓
↑
1 479.54 m
↓
S 52.736291°
W 18.742676°		 ← 1 479.33 m →
2 189 056 m²		 S 52.736291°
W 18.720703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447967529296875 y=0.673004150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447967529296875 × 214)
    floor (0.447967529296875 × 16384)
    floor (7339.5)     		tx = 7339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673004150390625 × 214)
    floor (0.673004150390625 × 16384)
    floor (11026.5)     		ty = 11026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7339 / 11026 ti = "14/7339/11026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7339/11026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7339 ÷ 214
    7339 ÷ 16384     		x = 0.44793701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11026 ÷ 214
    11026 ÷ 16384     		y = 0.6729736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44793701171875 × 2 - 1) × π
    -0.1041259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32712140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6729736328125 × 2 - 1) × π
    -0.345947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.08682538818591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32712140} λ = -0.32712140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08682538818591))-π/2
    2×atan(0.337285546575839)-π/2
    2×0.325303318964321-π/2
    0.650606637928643-1.57079632675     		φ = -0.92018969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32712140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.742676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92018969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.722986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7339 KachelY 11026 -0.32712140 -0.92018969 -18.742676 -52.722986
    Oben rechts KachelX + 1 7340 KachelY 11026 -0.32673791 -0.92018969 -18.720703 -52.722986
    Unten links KachelX 7339 KachelY + 1 11027 -0.32712140 -0.92042192 -18.742676 -52.736291
    Unten rechts KachelX + 1 7340 KachelY + 1 11027 -0.32673791 -0.92042192 -18.720703 -52.736291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92018969--0.92042192) × R
    0.000232230000000055 × 6371000     		dl = 1479.53733000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92018969--0.92042192) × R
    0.000232230000000055 × 6371000     		dr = 1479.53733000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32712140--0.32673791) × cos(-0.92018969) × R
    0.000383489999999986 × 0.605669228073663 × 6371000     		do = 1479.7800158774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32712140--0.32673791) × cos(-0.92042192) × R
    0.000383489999999986 × 0.60548442249491 × 6371000     		du = 1479.32849615412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92018969)-sin(-0.92042192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605669228073663-0.60548442249491)×R²
    abs(-0.32673791--0.32712140)×0.000184805578753666×R²
    0.000383489999999986×0.000184805578753666×6371000²
    0.000383489999999986×0.000184805578753666×40589641000000     		ar = 2189055.76337398m²