Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7338 / 10990
↖ ↑ ↗
← S 52.241256°
W 18.764649°		 ← 1 496.11 m → S 52.241256°
W 18.742676°		 →
↑
1 495.85 m
↓
↑
1 495.85 m
↓
S 52.254709°
W 18.764649°		 ← 1 495.66 m →
2 237 616 m²		 S 52.254709°
W 18.742676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447906494140625 y=0.670806884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447906494140625 × 214)
    floor (0.447906494140625 × 16384)
    floor (7338.5)     		tx = 7338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670806884765625 × 214)
    floor (0.670806884765625 × 16384)
    floor (10990.5)     		ty = 10990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7338 / 10990 ti = "14/7338/10990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7338/10990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7338 ÷ 214
    7338 ÷ 16384     		x = 0.4478759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10990 ÷ 214
    10990 ÷ 16384     		y = 0.6707763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4478759765625 × 2 - 1) × π
    -0.104248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32750490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6707763671875 × 2 - 1) × π
    -0.341552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.07301956109534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32750490} λ = -0.32750490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07301956109534))-π/2
    2×atan(0.341974344404217)-π/2
    2×0.329507200812157-π/2
    0.659014401624314-1.57079632675     		φ = -0.91178193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32750490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.764649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91178193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.241256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7338 KachelY 10990 -0.32750490 -0.91178193 -18.764649 -52.241256
    Oben rechts KachelX + 1 7339 KachelY 10990 -0.32712140 -0.91178193 -18.742676 -52.241256
    Unten links KachelX 7338 KachelY + 1 10991 -0.32750490 -0.91201672 -18.764649 -52.254709
    Unten rechts KachelX + 1 7339 KachelY + 1 10991 -0.32712140 -0.91201672 -18.742676 -52.254709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91178193--0.91201672) × R
    0.00023479000000004 × 6371000     		dl = 1495.84709000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91178193--0.91201672) × R
    0.00023479000000004 × 6371000     		dr = 1495.84709000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32750490--0.32712140) × cos(-0.91178193) × R
    0.000383499999999981 × 0.612337935429099 × 6371000     		do = 1496.11211236823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32750490--0.32712140) × cos(-0.91201672) × R
    0.000383499999999981 × 0.612152294485675 × 6371000     		du = 1495.65853984244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91178193)-sin(-0.91201672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612337935429099-0.612152294485675)×R²
    abs(-0.32712140--0.32750490)×0.000185640943424326×R²
    0.000383499999999981×0.000185640943424326×6371000²
    0.000383499999999981×0.000185640943424326×40589641000000     		ar = 2237615.72230895m²