Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7337 / 11029
↖ ↑ ↗
← S 52.762892°
W 18.786621°		 ← 1 478.43 m → S 52.762892°
W 18.764649°		 →
↑
1 478.26 m
↓
↑
1 478.26 m
↓
S 52.776186°
W 18.786621°		 ← 1 477.97 m →
2 185 168 m²		 S 52.776186°
W 18.764649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447845458984375 y=0.673187255859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447845458984375 × 214)
    floor (0.447845458984375 × 16384)
    floor (7337.5)     		tx = 7337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673187255859375 × 214)
    floor (0.673187255859375 × 16384)
    floor (11029.5)     		ty = 11029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7337 / 11029 ti = "14/7337/11029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7337/11029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7337 ÷ 214
    7337 ÷ 16384     		x = 0.44781494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11029 ÷ 214
    11029 ÷ 16384     		y = 0.67315673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44781494140625 × 2 - 1) × π
    -0.1043701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32788839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67315673828125 × 2 - 1) × π
    -0.3463134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.08797587377679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32788839} λ = -0.32788839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08797587377679))-π/2
    2×atan(0.33689772754737)-π/2
    2×0.324955071559783-π/2
    0.649910143119566-1.57079632675     		φ = -0.92088618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32788839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.786621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92088618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.762892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7337 KachelY 11029 -0.32788839 -0.92088618 -18.786621 -52.762892
    Oben rechts KachelX + 1 7338 KachelY 11029 -0.32750490 -0.92088618 -18.764649 -52.762892
    Unten links KachelX 7337 KachelY + 1 11030 -0.32788839 -0.92111821 -18.786621 -52.776186
    Unten rechts KachelX + 1 7338 KachelY + 1 11030 -0.32750490 -0.92111821 -18.764649 -52.776186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92088618--0.92111821) × R
    0.00023203000000005 × 6371000     		dl = 1478.26313000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92088618--0.92111821) × R
    0.00023203000000005 × 6371000     		dr = 1478.26313000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32788839--0.32750490) × cos(-0.92088618) × R
    0.000383489999999986 × 0.605114872612289 × 6371000     		do = 1478.42560641526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32788839--0.32750490) × cos(-0.92111821) × R
    0.000383489999999986 × 0.604930128384539 × 6371000     		du = 1477.97423658565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92088618)-sin(-0.92111821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605114872612289-0.604930128384539)×R²
    abs(-0.32750490--0.32788839)×0.000184744227750389×R²
    0.000383489999999986×0.000184744227750389×6371000²
    0.000383489999999986×0.000184744227750389×40589641000000     		ar = 2185168.45252756m²