Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7335 / 10996
↖ ↑ ↗
← S 52.321911°
W 18.830566°		 ← 1 493.35 m → S 52.321911°
W 18.808594°		 →
↑
1 493.11 m
↓
↑
1 493.11 m
↓
S 52.335339°
W 18.830566°		 ← 1 492.90 m →
2 229 398 m²		 S 52.335339°
W 18.808594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447723388671875 y=0.671173095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447723388671875 × 214)
    floor (0.447723388671875 × 16384)
    floor (7335.5)     		tx = 7335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671173095703125 × 214)
    floor (0.671173095703125 × 16384)
    floor (10996.5)     		ty = 10996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7335 / 10996 ti = "14/7335/10996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7335/10996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7335 ÷ 214
    7335 ÷ 16384     		x = 0.44769287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10996 ÷ 214
    10996 ÷ 16384     		y = 0.671142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44769287109375 × 2 - 1) × π
    -0.1046142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32865538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671142578125 × 2 - 1) × π
    -0.34228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.0753205322771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32865538} λ = -0.32865538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0753205322771))-π/2
    2×atan(0.341188375885071)-π/2
    2×0.328803355459416-π/2
    0.657606710918831-1.57079632675     		φ = -0.91318962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32865538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.830566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91318962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.321911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7335 KachelY 10996 -0.32865538 -0.91318962 -18.830566 -52.321911
    Oben rechts KachelX + 1 7336 KachelY 10996 -0.32827189 -0.91318962 -18.808594 -52.321911
    Unten links KachelX 7335 KachelY + 1 10997 -0.32865538 -0.91342398 -18.830566 -52.335339
    Unten rechts KachelX + 1 7336 KachelY + 1 10997 -0.32827189 -0.91342398 -18.808594 -52.335339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91318962--0.91342398) × R
    0.000234359999999989 × 6371000     		dl = 1493.10755999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91318962--0.91342398) × R
    0.000234359999999989 × 6371000     		dr = 1493.10755999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32865538--0.32827189) × cos(-0.91318962) × R
    0.000383489999999986 × 0.611224414818064 × 6371000     		do = 1493.35253029254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32865538--0.32827189) × cos(-0.91342398) × R
    0.000383489999999986 × 0.611038912092863 × 6371000     		du = 1492.89930729074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91318962)-sin(-0.91342398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611224414818064-0.611038912092863)×R²
    abs(-0.32827189--0.32865538)×0.000185502725201347×R²
    0.000383489999999986×0.000185502725201347×6371000²
    0.000383489999999986×0.000185502725201347×40589641000000     		ar = 2229397.60758256m²