Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7330 / 11190
↖ ↑ ↗
← S 54.851315°
W 18.940430°		 ← 1 406.60 m → S 54.851315°
W 18.918457°		 →
↑
1 406.33 m
↓
↑
1 406.33 m
↓
S 54.863963°
W 18.940430°		 ← 1 406.15 m →
1 977 834 m²		 S 54.863963°
W 18.918457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447418212890625 y=0.683013916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447418212890625 × 214)
    floor (0.447418212890625 × 16384)
    floor (7330.5)     		tx = 7330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683013916015625 × 214)
    floor (0.683013916015625 × 16384)
    floor (11190.5)     		ty = 11190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7330 / 11190 ti = "14/7330/11190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7330/11190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7330 ÷ 214
    7330 ÷ 16384     		x = 0.4473876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11190 ÷ 214
    11190 ÷ 16384     		y = 0.6829833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4473876953125 × 2 - 1) × π
    -0.105224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33057286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6829833984375 × 2 - 1) × π
    -0.365966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.14971860048743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33057286} λ = -0.33057286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14971860048743))-π/2
    2×atan(0.316725883349345)-π/2
    2×0.306730138241442-π/2
    0.613460276482884-1.57079632675     		φ = -0.95733605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33057286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.940430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95733605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.851315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7330 KachelY 11190 -0.33057286 -0.95733605 -18.940430 -54.851315
    Oben rechts KachelX + 1 7331 KachelY 11190 -0.33018936 -0.95733605 -18.918457 -54.851315
    Unten links KachelX 7330 KachelY + 1 11191 -0.33057286 -0.95755679 -18.940430 -54.863963
    Unten rechts KachelX + 1 7331 KachelY + 1 11191 -0.33018936 -0.95755679 -18.918457 -54.863963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95733605--0.95755679) × R
    0.000220740000000053 × 6371000     		dl = 1406.33454000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95733605--0.95755679) × R
    0.000220740000000053 × 6371000     		dr = 1406.33454000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33057286--0.33018936) × cos(-0.95733605) × R
    0.000383500000000037 × 0.575700233841436 × 6371000     		do = 1406.59600378989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33057286--0.33018936) × cos(-0.95755679) × R
    0.000383500000000037 × 0.575519729364402 × 6371000     		du = 1406.154981082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95733605)-sin(-0.95755679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575700233841436-0.575519729364402)×R²
    abs(-0.33018936--0.33057286)×0.000180504477033772×R²
    0.000383500000000037×0.000180504477033772×6371000²
    0.000383500000000037×0.000180504477033772×40589641000000     		ar = 1977834.43925414m²