Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7329 / 11039
↖ ↑ ↗
← S 52.895649°
W 18.962402°		 ← 1 473.91 m → S 52.895649°
W 18.940430°		 →
↑
1 473.68 m
↓
↑
1 473.68 m
↓
S 52.908902°
W 18.962402°		 ← 1 473.46 m →
2 171 741 m²		 S 52.908902°
W 18.940430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447357177734375 y=0.673797607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447357177734375 × 214)
    floor (0.447357177734375 × 16384)
    floor (7329.5)     		tx = 7329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673797607421875 × 214)
    floor (0.673797607421875 × 16384)
    floor (11039.5)     		ty = 11039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7329 / 11039 ti = "14/7329/11039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7329/11039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7329 ÷ 214
    7329 ÷ 16384     		x = 0.44732666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11039 ÷ 214
    11039 ÷ 16384     		y = 0.67376708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44732666015625 × 2 - 1) × π
    -0.1053466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33095635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67376708984375 × 2 - 1) × π
    -0.3475341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.0918108257464
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33095635} λ = -0.33095635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0918108257464))-π/2
    2×atan(0.335608215133033)-π/2
    2×0.323796548840854-π/2
    0.647593097681708-1.57079632675     		φ = -0.92320323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33095635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.962402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92320323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.895649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7329 KachelY 11039 -0.33095635 -0.92320323 -18.962402 -52.895649
    Oben rechts KachelX + 1 7330 KachelY 11039 -0.33057286 -0.92320323 -18.940430 -52.895649
    Unten links KachelX 7329 KachelY + 1 11040 -0.33095635 -0.92343454 -18.962402 -52.908902
    Unten rechts KachelX + 1 7330 KachelY + 1 11040 -0.33057286 -0.92343454 -18.940430 -52.908902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92320323--0.92343454) × R
    0.000231309999999985 × 6371000     		dl = 1473.6760099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92320323--0.92343454) × R
    0.000231309999999985 × 6371000     		dr = 1473.6760099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33095635--0.33057286) × cos(-0.92320323) × R
    0.000383489999999986 × 0.603268557962866 × 6371000     		do = 1473.91466315679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33095635--0.33057286) × cos(-0.92343454) × R
    0.000383489999999986 × 0.603084063284091 × 6371000     		du = 1473.46390302893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92320323)-sin(-0.92343454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603268557962866-0.603084063284091)×R²
    abs(-0.33057286--0.33095635)×0.000184494678775238×R²
    0.000383489999999986×0.000184494678775238×6371000²
    0.000383489999999986×0.000184494678775238×40589641000000     		ar = 2171740.5523706m²