Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7328 / 11104
↖ ↑ ↗
← S 53.748711°
W 18.984375°		 ← 1 444.78 m → S 53.748711°
W 18.962402°		 →
↑
1 444.56 m
↓
↑
1 444.56 m
↓
S 53.761702°
W 18.984375°		 ← 1 444.33 m →
2 086 747 m²		 S 53.761702°
W 18.962402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447296142578125 y=0.677764892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447296142578125 × 214)
    floor (0.447296142578125 × 16384)
    floor (7328.5)     		tx = 7328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677764892578125 × 214)
    floor (0.677764892578125 × 16384)
    floor (11104.5)     		ty = 11104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7328 / 11104 ti = "14/7328/11104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7328/11104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7328 ÷ 214
    7328 ÷ 16384     		x = 0.447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11104 ÷ 214
    11104 ÷ 16384     		y = 0.677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447265625 × 2 - 1) × π
    -0.10546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33133985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677734375 × 2 - 1) × π
    -0.35546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.11673801354883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33133985} λ = -0.33133985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11673801354883))-π/2
    2×atan(0.327345852680574)-π/2
    2×0.316352177352829-π/2
    0.632704354705659-1.57079632675     		φ = -0.93809197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33133985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.984375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93809197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.748711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7328 KachelY 11104 -0.33133985 -0.93809197 -18.984375 -53.748711
    Oben rechts KachelX + 1 7329 KachelY 11104 -0.33095635 -0.93809197 -18.962402 -53.748711
    Unten links KachelX 7328 KachelY + 1 11105 -0.33133985 -0.93831871 -18.984375 -53.761702
    Unten rechts KachelX + 1 7329 KachelY + 1 11105 -0.33095635 -0.93831871 -18.962402 -53.761702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93809197--0.93831871) × R
    0.000226740000000003 × 6371000     		dl = 1444.56054000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93809197--0.93831871) × R
    0.000226740000000003 × 6371000     		dr = 1444.56054000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33133985--0.33095635) × cos(-0.93809197) × R
    0.000383499999999981 × 0.591327795594016 × 6371000     		do = 1444.77848942718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33133985--0.33095635) × cos(-0.93831871) × R
    0.000383499999999981 × 0.591144930162723 × 6371000     		du = 1444.33169825051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93809197)-sin(-0.93831871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591327795594016-0.591144930162723)×R²
    abs(-0.33095635--0.33133985)×0.000182865431293311×R²
    0.000383499999999981×0.000182865431293311×6371000²
    0.000383499999999981×0.000182865431293311×40589641000000     		ar = 2086747.29535507m²