Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7327 / 11062
↖ ↑ ↗
← S 53.199452°
W 19.006348°		 ← 1 463.60 m → S 53.199452°
W 18.984375°		 →
↑
1 463.35 m
↓
↑
1 463.35 m
↓
S 53.212612°
W 19.006348°		 ← 1 463.15 m →
2 141 438 m²		 S 53.212612°
W 18.984375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447235107421875 y=0.675201416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447235107421875 × 214)
    floor (0.447235107421875 × 16384)
    floor (7327.5)     		tx = 7327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675201416015625 × 214)
    floor (0.675201416015625 × 16384)
    floor (11062.5)     		ty = 11062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7327 / 11062 ti = "14/7327/11062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7327/11062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7327 ÷ 214
    7327 ÷ 16384     		x = 0.44720458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11062 ÷ 214
    11062 ÷ 16384     		y = 0.6751708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44720458984375 × 2 - 1) × π
    -0.1055908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33172335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6751708984375 × 2 - 1) × π
    -0.350341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.10063121527649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33172335} λ = -0.33172335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10063121527649))-π/2
    2×atan(0.332661036684364)-π/2
    2×0.321145365426484-π/2
    0.642290730852968-1.57079632675     		φ = -0.92850560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33172335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.006348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92850560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.199452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7327 KachelY 11062 -0.33172335 -0.92850560 -19.006348 -53.199452
    Oben rechts KachelX + 1 7328 KachelY 11062 -0.33133985 -0.92850560 -18.984375 -53.199452
    Unten links KachelX 7327 KachelY + 1 11063 -0.33172335 -0.92873529 -19.006348 -53.212612
    Unten rechts KachelX + 1 7328 KachelY + 1 11063 -0.33133985 -0.92873529 -18.984375 -53.212612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92850560--0.92873529) × R
    0.000229689999999949 × 6371000     		dl = 1463.35498999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92850560--0.92873529) × R
    0.000229689999999949 × 6371000     		dr = 1463.35498999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33172335--0.33133985) × cos(-0.92850560) × R
    0.000383499999999981 × 0.599031255130401 × 6371000     		do = 1463.60018648805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33172335--0.33133985) × cos(-0.92873529) × R
    0.000383499999999981 × 0.59884732065738 × 6371000     		du = 1463.15078334471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92850560)-sin(-0.92873529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599031255130401-0.59884732065738)×R²
    abs(-0.33133985--0.33172335)×0.000183934473020675×R²
    0.000383499999999981×0.000183934473020675×6371000²
    0.000383499999999981×0.000183934473020675×40589641000000     		ar = 2141437.82750977m²