Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7327 / 11059
↖ ↑ ↗
← S 53.159947°
W 19.006348°		 ← 1 464.95 m → S 53.159947°
W 18.984375°		 →
↑
1 464.69 m
↓
↑
1 464.69 m
↓
S 53.173119°
W 19.006348°		 ← 1 464.50 m →
2 145 371 m²		 S 53.173119°
W 18.984375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447235107421875 y=0.675018310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447235107421875 × 214)
    floor (0.447235107421875 × 16384)
    floor (7327.5)     		tx = 7327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675018310546875 × 214)
    floor (0.675018310546875 × 16384)
    floor (11059.5)     		ty = 11059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7327 / 11059 ti = "14/7327/11059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7327/11059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7327 ÷ 214
    7327 ÷ 16384     		x = 0.44720458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11059 ÷ 214
    11059 ÷ 16384     		y = 0.67498779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44720458984375 × 2 - 1) × π
    -0.1055908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33172335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67498779296875 × 2 - 1) × π
    -0.3499755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.09948072968561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33172335} λ = -0.33172335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09948072968561))-π/2
    2×atan(0.333043978656088)-π/2
    2×0.321490112584993-π/2
    0.642980225169985-1.57079632675     		φ = -0.92781610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33172335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.006348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92781610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.159947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7327 KachelY 11059 -0.33172335 -0.92781610 -19.006348 -53.159947
    Oben rechts KachelX + 1 7328 KachelY 11059 -0.33133985 -0.92781610 -18.984375 -53.159947
    Unten links KachelX 7327 KachelY + 1 11060 -0.33172335 -0.92804600 -19.006348 -53.173119
    Unten rechts KachelX + 1 7328 KachelY + 1 11060 -0.33133985 -0.92804600 -18.984375 -53.173119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92781610--0.92804600) × R
    0.000229900000000005 × 6371000     		dl = 1464.69290000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92781610--0.92804600) × R
    0.000229900000000005 × 6371000     		dr = 1464.69290000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33172335--0.33133985) × cos(-0.92781610) × R
    0.000383499999999981 × 0.599583213024718 × 6371000     		do = 1464.94877334414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33172335--0.33133985) × cos(-0.92804600) × R
    0.000383499999999981 × 0.599399205355641 × 6371000     		du = 1464.49919136245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92781610)-sin(-0.92804600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599583213024718-0.599399205355641)×R²
    abs(-0.33133985--0.33172335)×0.000184007669077002×R²
    0.000383499999999981×0.000184007669077002×6371000²
    0.000383499999999981×0.000184007669077002×40589641000000     		ar = 2145370.82686182m²