Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7326 / 10958
↖ ↑ ↗
← S 51.808615°
W 19.028320°		 ← 1 510.62 m → S 51.808615°
W 19.006348°		 →
↑
1 510.37 m
↓
↑
1 510.37 m
↓
S 51.822198°
W 19.028320°		 ← 1 510.16 m →
2 281 250 m²		 S 51.822198°
W 19.006348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447174072265625 y=0.668853759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447174072265625 × 214)
    floor (0.447174072265625 × 16384)
    floor (7326.5)     		tx = 7326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668853759765625 × 214)
    floor (0.668853759765625 × 16384)
    floor (10958.5)     		ty = 10958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7326 / 10958 ti = "14/7326/10958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7326/10958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7326 ÷ 214
    7326 ÷ 16384     		x = 0.4471435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10958 ÷ 214
    10958 ÷ 16384     		y = 0.6688232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4471435546875 × 2 - 1) × π
    -0.105712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33210684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6688232421875 × 2 - 1) × π
    -0.337646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.0607477147926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33210684} λ = -0.33210684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0607477147926))-π/2
    2×atan(0.346196857019366)-π/2
    2×0.333282709247098-π/2
    0.666565418494195-1.57079632675     		φ = -0.90423091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33210684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.028320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90423091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.808615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7326 KachelY 10958 -0.33210684 -0.90423091 -19.028320 -51.808615
    Oben rechts KachelX + 1 7327 KachelY 10958 -0.33172335 -0.90423091 -19.006348 -51.808615
    Unten links KachelX 7326 KachelY + 1 10959 -0.33210684 -0.90446798 -19.028320 -51.822198
    Unten rechts KachelX + 1 7327 KachelY + 1 10959 -0.33172335 -0.90446798 -19.006348 -51.822198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90423091--0.90446798) × R
    0.00023706999999995 × 6371000     		dl = 1510.37296999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90423091--0.90446798) × R
    0.00023706999999995 × 6371000     		dr = 1510.37296999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33210684--0.33172335) × cos(-0.90423091) × R
    0.000383490000000042 × 0.618290228915873 × 6371000     		do = 1510.61583179991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33210684--0.33172335) × cos(-0.90446798) × R
    0.000383490000000042 × 0.61810388640811 × 6371000     		du = 1510.16055702894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90423091)-sin(-0.90446798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618290228915873-0.61810388640811)×R²
    abs(-0.33172335--0.33210684)×0.00018634250776306×R²
    0.000383490000000042×0.00018634250776306×6371000²
    0.000383490000000042×0.00018634250776306×40589641000000     		ar = 2281249.51373454m²