Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7323 / 11058
↖ ↑ ↗
← S 53.146770°
W 19.094239°		 ← 1 465.40 m → S 53.146770°
W 19.072266°		 →
↑
1 465.14 m
↓
↑
1 465.14 m
↓
S 53.159947°
W 19.094239°		 ← 1 464.95 m →
2 146 683 m²		 S 53.159947°
W 19.072266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446990966796875 y=0.674957275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446990966796875 × 214)
    floor (0.446990966796875 × 16384)
    floor (7323.5)     		tx = 7323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674957275390625 × 214)
    floor (0.674957275390625 × 16384)
    floor (11058.5)     		ty = 11058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7323 / 11058 ti = "14/7323/11058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7323/11058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7323 ÷ 214
    7323 ÷ 16384     		x = 0.44696044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11058 ÷ 214
    11058 ÷ 16384     		y = 0.6749267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44696044921875 × 2 - 1) × π
    -0.1060791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33325733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6749267578125 × 2 - 1) × π
    -0.349853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.09909723448865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33325733} λ = -0.33325733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09909723448865))-π/2
    2×atan(0.33317172391556)-π/2
    2×0.321605098869577-π/2
    0.643210197739155-1.57079632675     		φ = -0.92758613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33325733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.094239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92758613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.146770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7323 KachelY 11058 -0.33325733 -0.92758613 -19.094239 -53.146770
    Oben rechts KachelX + 1 7324 KachelY 11058 -0.33287383 -0.92758613 -19.072266 -53.146770
    Unten links KachelX 7323 KachelY + 1 11059 -0.33325733 -0.92781610 -19.094239 -53.159947
    Unten rechts KachelX + 1 7324 KachelY + 1 11059 -0.33287383 -0.92781610 -19.072266 -53.159947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92758613--0.92781610) × R
    0.000229970000000024 × 6371000     		dl = 1465.13887000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92758613--0.92781610) × R
    0.000229970000000024 × 6371000     		dr = 1465.13887000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33325733--0.33287383) × cos(-0.92758613) × R
    0.000383500000000037 × 0.599767245015635 × 6371000     		do = 1465.39841475107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33325733--0.33287383) × cos(-0.92781610) × R
    0.000383500000000037 × 0.599583213024718 × 6371000     		du = 1464.94877334435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92758613)-sin(-0.92781610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599767245015635-0.599583213024718)×R²
    abs(-0.33287383--0.33325733)×0.000184031990917322×R²
    0.000383500000000037×0.000184031990917322×6371000²
    0.000383500000000037×0.000184031990917322×40589641000000     		ar = 2146682.79339757m²