Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7321 / 11056
↖ ↑ ↗
← S 53.120405°
W 19.138184°		 ← 1 466.30 m → S 53.120405°
W 19.116211°		 →
↑
1 466.09 m
↓
↑
1 466.09 m
↓
S 53.133590°
W 19.138184°		 ← 1 465.85 m →
2 149 402 m²		 S 53.133590°
W 19.116211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446868896484375 y=0.674835205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446868896484375 × 214)
    floor (0.446868896484375 × 16384)
    floor (7321.5)     		tx = 7321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674835205078125 × 214)
    floor (0.674835205078125 × 16384)
    floor (11056.5)     		ty = 11056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7321 / 11056 ti = "14/7321/11056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7321/11056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7321 ÷ 214
    7321 ÷ 16384     		x = 0.44683837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11056 ÷ 214
    11056 ÷ 16384     		y = 0.6748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44683837890625 × 2 - 1) × π
    -0.1063232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33402432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6748046875 × 2 - 1) × π
    -0.349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.09833024409473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33402432} λ = -0.33402432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09833024409473))-π/2
    2×atan(0.333427361450564)-π/2
    2×0.321835177314868-π/2
    0.643670354629736-1.57079632675     		φ = -0.92712597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33402432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.138184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92712597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.120405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7321 KachelY 11056 -0.33402432 -0.92712597 -19.138184 -53.120405
    Oben rechts KachelX + 1 7322 KachelY 11056 -0.33364082 -0.92712597 -19.116211 -53.120405
    Unten links KachelX 7321 KachelY + 1 11057 -0.33402432 -0.92735609 -19.138184 -53.133590
    Unten rechts KachelX + 1 7322 KachelY + 1 11057 -0.33364082 -0.92735609 -19.116211 -53.133590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92712597--0.92735609) × R
    0.00023012 × 6371000     		dl = 1466.09452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92712597--0.92735609) × R
    0.00023012 × 6371000     		dr = 1466.09452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33402432--0.33364082) × cos(-0.92712597) × R
    0.000383499999999981 × 0.600135389807178 × 6371000     		do = 1466.29789500492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33402432--0.33364082) × cos(-0.92735609) × R
    0.000383499999999981 × 0.5999513012897 × 6371000     		du = 1465.84811548807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92712597)-sin(-0.92735609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600135389807178-0.5999513012897)×R²
    abs(-0.33364082--0.33402432)×0.000184088517477754×R²
    0.000383499999999981×0.000184088517477754×6371000²
    0.000383499999999981×0.000184088517477754×40589641000000     		ar = 2149401.60839732m²