Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7320 / 11045
↖ ↑ ↗
← S 52.975108°
W 19.160156°		 ← 1 471.21 m → S 52.975108°
W 19.138184°		 →
↑
1 471 m
↓
↑
1 471 m
↓
S 52.988337°
W 19.160156°		 ← 1 470.76 m →
2 163 820 m²		 S 52.988337°
W 19.138184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446807861328125 y=0.674163818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446807861328125 × 214)
    floor (0.446807861328125 × 16384)
    floor (7320.5)     		tx = 7320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674163818359375 × 214)
    floor (0.674163818359375 × 16384)
    floor (11045.5)     		ty = 11045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7320 / 11045 ti = "14/7320/11045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7320/11045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7320 ÷ 214
    7320 ÷ 16384     		x = 0.44677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11045 ÷ 214
    11045 ÷ 16384     		y = 0.67413330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44677734375 × 2 - 1) × π
    -0.1064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33440781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67413330078125 × 2 - 1) × π
    -0.3482666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.09411179692816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33440781} λ = -0.33440781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09411179692816))-π/2
    2×atan(0.334836878054162)-π/2
    2×0.32310313372113-π/2
    0.64620626744226-1.57079632675     		φ = -0.92459006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33440781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.160156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92459006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.975108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7320 KachelY 11045 -0.33440781 -0.92459006 -19.160156 -52.975108
    Oben rechts KachelX + 1 7321 KachelY 11045 -0.33402432 -0.92459006 -19.138184 -52.975108
    Unten links KachelX 7320 KachelY + 1 11046 -0.33440781 -0.92482095 -19.160156 -52.988337
    Unten rechts KachelX + 1 7321 KachelY + 1 11046 -0.33402432 -0.92482095 -19.138184 -52.988337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92459006--0.92482095) × R
    0.000230889999999984 × 6371000     		dl = 1471.0001899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92459006--0.92482095) × R
    0.000230889999999984 × 6371000     		dr = 1471.0001899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33440781--0.33402432) × cos(-0.92459006) × R
    0.000383490000000042 × 0.602161928399216 × 6371000     		do = 1471.21092944005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33440781--0.33402432) × cos(-0.92482095) × R
    0.000383490000000042 × 0.601977575781921 × 6371000     		du = 1470.7605163989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92459006)-sin(-0.92482095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602161928399216-0.601977575781921)×R²
    abs(-0.33402432--0.33440781)×0.000184352617294992×R²
    0.000383490000000042×0.000184352617294992×6371000²
    0.000383490000000042×0.000184352617294992×40589641000000     		ar = 2163820.28751497m²