Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7320 / 11038
↖ ↑ ↗
← S 52.882391°
W 19.160156°		 ← 1 474.37 m → S 52.882391°
W 19.138184°		 →
↑
1 474.19 m
↓
↑
1 474.19 m
↓
S 52.895649°
W 19.160156°		 ← 1 473.91 m →
2 173 156 m²		 S 52.895649°
W 19.138184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446807861328125 y=0.673736572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446807861328125 × 214)
    floor (0.446807861328125 × 16384)
    floor (7320.5)     		tx = 7320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673736572265625 × 214)
    floor (0.673736572265625 × 16384)
    floor (11038.5)     		ty = 11038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7320 / 11038 ti = "14/7320/11038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7320/11038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7320 ÷ 214
    7320 ÷ 16384     		x = 0.44677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11038 ÷ 214
    11038 ÷ 16384     		y = 0.6737060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44677734375 × 2 - 1) × π
    -0.1064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33440781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6737060546875 × 2 - 1) × π
    -0.347412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.09142733054944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33440781} λ = -0.33440781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09142733054944))-π/2
    2×atan(0.335736943953462)-π/2
    2×0.323912241828752-π/2
    0.647824483657503-1.57079632675     		φ = -0.92297184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33440781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.160156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92297184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.882391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7320 KachelY 11038 -0.33440781 -0.92297184 -19.160156 -52.882391
    Oben rechts KachelX + 1 7321 KachelY 11038 -0.33402432 -0.92297184 -19.138184 -52.882391
    Unten links KachelX 7320 KachelY + 1 11039 -0.33440781 -0.92320323 -19.160156 -52.895649
    Unten rechts KachelX + 1 7321 KachelY + 1 11039 -0.33402432 -0.92320323 -19.138184 -52.895649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92297184--0.92320323) × R
    0.000231390000000053 × 6371000     		dl = 1474.18569000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92297184--0.92320323) × R
    0.000231390000000053 × 6371000     		dr = 1474.18569000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33440781--0.33402432) × cos(-0.92297184) × R
    0.000383490000000042 × 0.603453084156052 × 6371000     		do = 1474.36550028134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33440781--0.33402432) × cos(-0.92320323) × R
    0.000383490000000042 × 0.603268557962866 × 6371000     		du = 1473.91466315701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92297184)-sin(-0.92320323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603453084156052-0.603268557962866)×R²
    abs(-0.33402432--0.33440781)×0.000184526193186096×R²
    0.000383490000000042×0.000184526193186096×6371000²
    0.000383490000000042×0.000184526193186096×40589641000000     		ar = 2173156.22322165m²