Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7320 / 10983
↖ ↑ ↗
← S 52.146973°
W 19.160156°		 ← 1 499.25 m → S 52.146973°
W 19.138184°		 →
↑
1 499.03 m
↓
↑
1 499.03 m
↓
S 52.160454°
W 19.160156°		 ← 1 498.80 m →
2 247 084 m²		 S 52.160454°
W 19.138184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446807861328125 y=0.670379638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446807861328125 × 214)
    floor (0.446807861328125 × 16384)
    floor (7320.5)     		tx = 7320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670379638671875 × 214)
    floor (0.670379638671875 × 16384)
    floor (10983.5)     		ty = 10983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7320 / 10983 ti = "14/7320/10983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7320/10983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7320 ÷ 214
    7320 ÷ 16384     		x = 0.44677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10983 ÷ 214
    10983 ÷ 16384     		y = 0.67034912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44677734375 × 2 - 1) × π
    -0.1064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33440781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67034912109375 × 2 - 1) × π
    -0.3406982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.07033509471661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33440781} λ = -0.33440781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07033509471661))-π/2
    2×atan(0.342893596332566)-π/2
    2×0.330329973534856-π/2
    0.660659947069713-1.57079632675     		φ = -0.91013638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33440781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.160156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91013638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.146973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7320 KachelY 10983 -0.33440781 -0.91013638 -19.160156 -52.146973
    Oben rechts KachelX + 1 7321 KachelY 10983 -0.33402432 -0.91013638 -19.138184 -52.146973
    Unten links KachelX 7320 KachelY + 1 10984 -0.33440781 -0.91037167 -19.160156 -52.160454
    Unten rechts KachelX + 1 7321 KachelY + 1 10984 -0.33402432 -0.91037167 -19.138184 -52.160454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91013638--0.91037167) × R
    0.000235289999999999 × 6371000     		dl = 1499.03258999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91013638--0.91037167) × R
    0.000235289999999999 × 6371000     		dr = 1499.03258999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33440781--0.33402432) × cos(-0.91013638) × R
    0.000383490000000042 × 0.613638071261443 × 6371000     		do = 1499.2496114132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33440781--0.33402432) × cos(-0.91037167) × R
    0.000383490000000042 × 0.613452272249651 × 6371000     		du = 1498.79566451962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91013638)-sin(-0.91037167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613638071261443-0.613452272249651)×R²
    abs(-0.33402432--0.33440781)×0.000185799011791721×R²
    0.000383490000000042×0.000185799011791721×6371000²
    0.000383490000000042×0.000185799011791721×40589641000000     		ar = 2247083.79782684m²