Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7319 / 10984
↖ ↑ ↗
← S 52.160454°
W 19.182129°		 ← 1 498.83 m → S 52.160454°
W 19.160156°		 →
↑
1 498.59 m
↓
↑
1 498.59 m
↓
S 52.173932°
W 19.182129°		 ← 1 498.38 m →
2 245 794 m²		 S 52.173932°
W 19.160156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446746826171875 y=0.670440673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446746826171875 × 214)
    floor (0.446746826171875 × 16384)
    floor (7319.5)     		tx = 7319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670440673828125 × 214)
    floor (0.670440673828125 × 16384)
    floor (10984.5)     		ty = 10984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7319 / 10984 ti = "14/7319/10984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7319/10984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7319 ÷ 214
    7319 ÷ 16384     		x = 0.44671630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10984 ÷ 214
    10984 ÷ 16384     		y = 0.67041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44671630859375 × 2 - 1) × π
    -0.1065673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33479131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67041015625 × 2 - 1) × π
    -0.3408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.07071858991357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33479131} λ = -0.33479131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07071858991357))-π/2
    2×atan(0.342762123496516)-π/2
    2×0.330212327722051-π/2
    0.660424655444102-1.57079632675     		φ = -0.91037167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33479131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.182129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91037167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.160454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7319 KachelY 10984 -0.33479131 -0.91037167 -19.182129 -52.160454
    Oben rechts KachelX + 1 7320 KachelY 10984 -0.33440781 -0.91037167 -19.160156 -52.160454
    Unten links KachelX 7319 KachelY + 1 10985 -0.33479131 -0.91060689 -19.182129 -52.173932
    Unten rechts KachelX + 1 7320 KachelY + 1 10985 -0.33440781 -0.91060689 -19.160156 -52.173932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91037167--0.91060689) × R
    0.00023521999999998 × 6371000     		dl = 1498.58661999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91037167--0.91060689) × R
    0.00023521999999998 × 6371000     		dr = 1498.58661999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33479131--0.33440781) × cos(-0.91037167) × R
    0.000383499999999981 × 0.613452272249651 × 6371000     		do = 1498.83474756365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33479131--0.33440781) × cos(-0.91060689) × R
    0.000383499999999981 × 0.61326649456762 × 6371000     		du = 1498.38084094736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91037167)-sin(-0.91060689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613452272249651-0.61326649456762)×R²
    abs(-0.33440781--0.33479131)×0.000185777682031874×R²
    0.000383499999999981×0.000185777682031874×6371000²
    0.000383499999999981×0.000185777682031874×40589641000000     		ar = 2245793.59945325m²