Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7318 / 11165
↖ ↑ ↗
← S 54.533832°
W 19.204101°		 ← 1 417.61 m → S 54.533832°
W 19.182129°		 →
↑
1 417.42 m
↓
↑
1 417.42 m
↓
S 54.546580°
W 19.204101°		 ← 1 417.16 m →
2 009 031 m²		 S 54.546580°
W 19.182129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446685791015625 y=0.681488037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446685791015625 × 214)
    floor (0.446685791015625 × 16384)
    floor (7318.5)     		tx = 7318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681488037109375 × 214)
    floor (0.681488037109375 × 16384)
    floor (11165.5)     		ty = 11165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7318 / 11165 ti = "14/7318/11165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7318/11165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7318 ÷ 214
    7318 ÷ 16384     		x = 0.4466552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11165 ÷ 214
    11165 ÷ 16384     		y = 0.68145751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4466552734375 × 2 - 1) × π
    -0.106689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33517480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68145751953125 × 2 - 1) × π
    -0.3629150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.14013122056342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33517480} λ = -0.33517480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14013122056342))-π/2
    2×atan(0.319777057737405)-π/2
    2×0.30950069790953-π/2
    0.61900139581906-1.57079632675     		φ = -0.95179493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33517480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.204101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95179493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.533832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7318 KachelY 11165 -0.33517480 -0.95179493 -19.204101 -54.533832
    Oben rechts KachelX + 1 7319 KachelY 11165 -0.33479131 -0.95179493 -19.182129 -54.533832
    Unten links KachelX 7318 KachelY + 1 11166 -0.33517480 -0.95201741 -19.204101 -54.546580
    Unten rechts KachelX + 1 7319 KachelY + 1 11166 -0.33479131 -0.95201741 -19.182129 -54.546580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95179493--0.95201741) × R
    0.000222479999999914 × 6371000     		dl = 1417.42007999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95179493--0.95201741) × R
    0.000222479999999914 × 6371000     		dr = 1417.42007999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33517480--0.33479131) × cos(-0.95179493) × R
    0.000383489999999986 × 0.58022212933046 × 6371000     		do = 1417.60728786542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33517480--0.33479131) × cos(-0.95201741) × R
    0.000383489999999986 × 0.580040914295352 × 6371000     		du = 1417.16454061147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95179493)-sin(-0.95201741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58022212933046-0.580040914295352)×R²
    abs(-0.33479131--0.33517480)×0.000181215035108484×R²
    0.000383489999999986×0.000181215035108484×6371000²
    0.000383489999999986×0.000181215035108484×40589641000000     		ar = 2009031.26423789m²