Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7318 / 11047
↖ ↑ ↗
← S 53.001562°
W 19.204101°		 ← 1 470.31 m → S 53.001562°
W 19.182129°		 →
↑
1 470.11 m
↓
↑
1 470.11 m
↓
S 53.014783°
W 19.204101°		 ← 1 469.86 m →
2 161 184 m²		 S 53.014783°
W 19.182129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446685791015625 y=0.674285888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446685791015625 × 214)
    floor (0.446685791015625 × 16384)
    floor (7318.5)     		tx = 7318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674285888671875 × 214)
    floor (0.674285888671875 × 16384)
    floor (11047.5)     		ty = 11047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7318 / 11047 ti = "14/7318/11047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7318/11047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7318 ÷ 214
    7318 ÷ 16384     		x = 0.4466552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11047 ÷ 214
    11047 ÷ 16384     		y = 0.67425537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4466552734375 × 2 - 1) × π
    -0.106689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33517480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67425537109375 × 2 - 1) × π
    -0.3485107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.09487878732208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33517480} λ = -0.33517480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09487878732208))-π/2
    2×atan(0.334580159847948)-π/2
    2×0.322872278210647-π/2
    0.645744556421293-1.57079632675     		φ = -0.92505177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33517480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.204101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92505177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.001562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7318 KachelY 11047 -0.33517480 -0.92505177 -19.204101 -53.001562
    Oben rechts KachelX + 1 7319 KachelY 11047 -0.33479131 -0.92505177 -19.182129 -53.001562
    Unten links KachelX 7318 KachelY + 1 11048 -0.33517480 -0.92528252 -19.204101 -53.014783
    Unten rechts KachelX + 1 7319 KachelY + 1 11048 -0.33479131 -0.92528252 -19.182129 -53.014783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92505177--0.92528252) × R
    0.000230749999999946 × 6371000     		dl = 1470.10824999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92505177--0.92528252) × R
    0.000230749999999946 × 6371000     		dr = 1470.10824999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33517480--0.33479131) × cos(-0.92505177) × R
    0.000383489999999986 × 0.601793246978722 × 6371000     		do = 1470.31016154048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33517480--0.33479131) × cos(-0.92528252) × R
    0.000383489999999986 × 0.601608942028614 × 6371000     		du = 1469.85986496051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92505177)-sin(-0.92528252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601793246978722-0.601608942028614)×R²
    abs(-0.33479131--0.33517480)×0.000184304950108016×R²
    0.000383489999999986×0.000184304950108016×6371000²
    0.000383489999999986×0.000184304950108016×40589641000000     		ar = 2161184.11576993m²