Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7310 / 11161
↖ ↑ ↗
← S 54.482805°
W 19.379883°		 ← 1 419.38 m → S 54.482805°
W 19.357910°		 →
↑
1 419.14 m
↓
↑
1 419.14 m
↓
S 54.495567°
W 19.379883°		 ← 1 418.94 m →
2 013 983 m²		 S 54.495567°
W 19.357910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446197509765625 y=0.681243896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446197509765625 × 214)
    floor (0.446197509765625 × 16384)
    floor (7310.5)     		tx = 7310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681243896484375 × 214)
    floor (0.681243896484375 × 16384)
    floor (11161.5)     		ty = 11161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7310 / 11161 ti = "14/7310/11161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7310/11161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7310 ÷ 214
    7310 ÷ 16384     		x = 0.4461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11161 ÷ 214
    11161 ÷ 16384     		y = 0.68121337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.107666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33824276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68121337890625 × 2 - 1) × π
    -0.3624267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.13859723977557
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33824276} λ = -0.33824276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13859723977557))-π/2
    2×atan(0.320267966026046)-π/2
    2×0.309946000764254-π/2
    0.619892001528508-1.57079632675     		φ = -0.95090433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33824276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.379883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95090433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.482805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7310 KachelY 11161 -0.33824276 -0.95090433 -19.379883 -54.482805
    Oben rechts KachelX + 1 7311 KachelY 11161 -0.33785927 -0.95090433 -19.357910 -54.482805
    Unten links KachelX 7310 KachelY + 1 11162 -0.33824276 -0.95112708 -19.379883 -54.495567
    Unten rechts KachelX + 1 7311 KachelY + 1 11162 -0.33785927 -0.95112708 -19.357910 -54.495567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95090433--0.95112708) × R
    0.000222750000000049 × 6371000     		dl = 1419.14025000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95090433--0.95112708) × R
    0.000222750000000049 × 6371000     		dr = 1419.14025000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33824276--0.33785927) × cos(-0.95090433) × R
    0.000383489999999986 × 0.580947255666794 × 6371000     		do = 1419.37892725497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33824276--0.33785927) × cos(-0.95112708) × R
    0.000383489999999986 × 0.580765935852158 × 6371000     		du = 1418.93592400213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95090433)-sin(-0.95112708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580947255666794-0.580765935852158)×R²
    abs(-0.33785927--0.33824276)×0.000181319814635872×R²
    0.000383489999999986×0.000181319814635872×6371000²
    0.000383489999999986×0.000181319814635872×40589641000000     		ar = 2013983.43212352m²