Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7310 / 11014
↖ ↑ ↗
← S 52.562995°
W 19.379883°		 ← 1 485.20 m → S 52.562995°
W 19.357910°		 →
↑
1 485.02 m
↓
↑
1 485.02 m
↓
S 52.576350°
W 19.379883°		 ← 1 484.75 m →
2 205 215 m²		 S 52.576350°
W 19.357910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446197509765625 y=0.672271728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446197509765625 × 214)
    floor (0.446197509765625 × 16384)
    floor (7310.5)     		tx = 7310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672271728515625 × 214)
    floor (0.672271728515625 × 16384)
    floor (11014.5)     		ty = 11014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7310 / 11014 ti = "14/7310/11014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7310/11014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7310 ÷ 214
    7310 ÷ 16384     		x = 0.4461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11014 ÷ 214
    11014 ÷ 16384     		y = 0.6722412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.107666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33824276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6722412109375 × 2 - 1) × π
    -0.344482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.08222344582239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33824276} λ = -0.33824276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08222344582239))-π/2
    2×atan(0.338841292201468)-π/2
    2×0.326699499331983-π/2
    0.653398998663966-1.57079632675     		φ = -0.91739733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33824276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.379883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91739733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.562995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7310 KachelY 11014 -0.33824276 -0.91739733 -19.379883 -52.562995
    Oben rechts KachelX + 1 7311 KachelY 11014 -0.33785927 -0.91739733 -19.357910 -52.562995
    Unten links KachelX 7310 KachelY + 1 11015 -0.33824276 -0.91763042 -19.379883 -52.576350
    Unten rechts KachelX + 1 7311 KachelY + 1 11015 -0.33785927 -0.91763042 -19.357910 -52.576350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91739733--0.91763042) × R
    0.000233089999999936 × 6371000     		dl = 1485.01638999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91739733--0.91763042) × R
    0.000233089999999936 × 6371000     		dr = 1485.01638999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33824276--0.33785927) × cos(-0.91739733) × R
    0.000383489999999986 × 0.60788879089538 × 6371000     		do = 1485.20288459076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33824276--0.33785927) × cos(-0.91763042) × R
    0.000383489999999986 × 0.607703695754182 × 6371000     		du = 1484.75065740423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91739733)-sin(-0.91763042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60788879089538-0.607703695754182)×R²
    abs(-0.33785927--0.33824276)×0.000185095141197356×R²
    0.000383489999999986×0.000185095141197356×6371000²
    0.000383489999999986×0.000185095141197356×40589641000000     		ar = 2205214.85368374m²