Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7308 / 10948
↖ ↑ ↗
← S 51.672555°
W 19.423828°		 ← 1 515.17 m → S 51.672555°
W 19.401856°		 →
↑
1 514.96 m
↓
↑
1 514.96 m
↓
S 51.686179°
W 19.423828°		 ← 1 514.72 m →
2 295 079 m²		 S 51.686179°
W 19.401856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446075439453125 y=0.668243408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446075439453125 × 214)
    floor (0.446075439453125 × 16384)
    floor (7308.5)     		tx = 7308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668243408203125 × 214)
    floor (0.668243408203125 × 16384)
    floor (10948.5)     		ty = 10948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7308 / 10948 ti = "14/7308/10948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7308/10948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7308 ÷ 214
    7308 ÷ 16384     		x = 0.446044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10948 ÷ 214
    10948 ÷ 16384     		y = 0.668212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446044921875 × 2 - 1) × π
    -0.10791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33900975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668212890625 × 2 - 1) × π
    -0.33642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.056912762823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33900975} λ = -0.33900975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.056912762823))-π/2
    2×atan(0.347527054329208)-π/2
    2×0.33447005327788-π/2
    0.66894010655576-1.57079632675     		φ = -0.90185622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33900975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.423828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90185622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.672555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7308 KachelY 10948 -0.33900975 -0.90185622 -19.423828 -51.672555
    Oben rechts KachelX + 1 7309 KachelY 10948 -0.33862626 -0.90185622 -19.401856 -51.672555
    Unten links KachelX 7308 KachelY + 1 10949 -0.33900975 -0.90209401 -19.423828 -51.686179
    Unten rechts KachelX + 1 7309 KachelY + 1 10949 -0.33862626 -0.90209401 -19.401856 -51.686179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90185622--0.90209401) × R
    0.000237790000000015 × 6371000     		dl = 1514.9600900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90185622--0.90209401) × R
    0.000237790000000015 × 6371000     		dr = 1514.9600900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33900975--0.33862626) × cos(-0.90185622) × R
    0.000383489999999986 × 0.620154871134822 × 6371000     		do = 1515.17155324709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33900975--0.33862626) × cos(-0.90209401) × R
    0.000383489999999986 × 0.619968312245982 × 6371000     		du = 1514.71574981067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90185622)-sin(-0.90209401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620154871134822-0.619968312245982)×R²
    abs(-0.33862626--0.33900975)×0.000186558888840671×R²
    0.000383489999999986×0.000186558888840671×6371000²
    0.000383489999999986×0.000186558888840671×40589641000000     		ar = 2295079.18147873m²