Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7306 / 10972
↖ ↑ ↗
← S 51.998411°
W 19.467773°		 ← 1 504.25 m → S 51.998411°
W 19.445801°		 →
↑
1 504 m
↓
↑
1 504 m
↓
S 52.011936°
W 19.467773°		 ← 1 503.79 m →
2 262 048 m²		 S 52.011936°
W 19.445801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445953369140625 y=0.669708251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445953369140625 × 214)
    floor (0.445953369140625 × 16384)
    floor (7306.5)     		tx = 7306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669708251953125 × 214)
    floor (0.669708251953125 × 16384)
    floor (10972.5)     		ty = 10972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7306 / 10972 ti = "14/7306/10972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7306/10972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7306 ÷ 214
    7306 ÷ 16384     		x = 0.4459228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10972 ÷ 214
    10972 ÷ 16384     		y = 0.669677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4459228515625 × 2 - 1) × π
    -0.108154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33977674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669677734375 × 2 - 1) × π
    -0.33935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.06611664755005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33977674} λ = -0.33977674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06611664755005))-π/2
    2×atan(0.344343130093669)-π/2
    2×0.331626429918871-π/2
    0.663252859837743-1.57079632675     		φ = -0.90754347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33977674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.467773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90754347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.998411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7306 KachelY 10972 -0.33977674 -0.90754347 -19.467773 -51.998411
    Oben rechts KachelX + 1 7307 KachelY 10972 -0.33939325 -0.90754347 -19.445801 -51.998411
    Unten links KachelX 7306 KachelY + 1 10973 -0.33977674 -0.90777954 -19.467773 -52.011936
    Unten rechts KachelX + 1 7307 KachelY + 1 10973 -0.33939325 -0.90777954 -19.445801 -52.011936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90754347--0.90777954) × R
    0.000236070000000033 × 6371000     		dl = 1504.00197000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90754347--0.90777954) × R
    0.000236070000000033 × 6371000     		dr = 1504.00197000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33977674--0.33939325) × cos(-0.90754347) × R
    0.000383490000000042 × 0.615683335324272 × 6371000     		do = 1504.24663082096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33977674--0.33939325) × cos(-0.90777954) × R
    0.000383490000000042 × 0.615497296503606 × 6371000     		du = 1503.79209802279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90754347)-sin(-0.90777954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615683335324272-0.615497296503606)×R²
    abs(-0.33939325--0.33977674)×0.000186038820666368×R²
    0.000383490000000042×0.000186038820666368×6371000²
    0.000383490000000042×0.000186038820666368×40589641000000     		ar = 2262048.0975145m²