Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7305 / 11147
↖ ↑ ↗
← S 54.303705°
W 19.489746°		 ← 1 425.63 m → S 54.303705°
W 19.467773°		 →
↑
1 425.38 m
↓
↑
1 425.38 m
↓
S 54.316523°
W 19.489746°		 ← 1 425.18 m →
2 031 747 m²		 S 54.316523°
W 19.467773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445892333984375 y=0.680389404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445892333984375 × 214)
    floor (0.445892333984375 × 16384)
    floor (7305.5)     		tx = 7305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680389404296875 × 214)
    floor (0.680389404296875 × 16384)
    floor (11147.5)     		ty = 11147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7305 / 11147 ti = "14/7305/11147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7305/11147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7305 ÷ 214
    7305 ÷ 16384     		x = 0.44586181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11147 ÷ 214
    11147 ÷ 16384     		y = 0.68035888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44586181640625 × 2 - 1) × π
    -0.1082763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34016024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68035888671875 × 2 - 1) × π
    -0.3607177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13322830701813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34016024} λ = -0.34016024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13322830701813))-π/2
    2×atan(0.321992087404332)-π/2
    2×0.311508944153855-π/2
    0.623017888307711-1.57079632675     		φ = -0.94777844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34016024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.489746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94777844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.303705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7305 KachelY 11147 -0.34016024 -0.94777844 -19.489746 -54.303705
    Oben rechts KachelX + 1 7306 KachelY 11147 -0.33977674 -0.94777844 -19.467773 -54.303705
    Unten links KachelX 7305 KachelY + 1 11148 -0.34016024 -0.94800217 -19.489746 -54.316523
    Unten rechts KachelX + 1 7306 KachelY + 1 11148 -0.33977674 -0.94800217 -19.467773 -54.316523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94777844--0.94800217) × R
    0.000223729999999978 × 6371000     		dl = 1425.38382999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94777844--0.94800217) × R
    0.000223729999999978 × 6371000     		dr = 1425.38382999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34016024--0.33977674) × cos(-0.94777844) × R
    0.000383499999999981 × 0.583488703928234 × 6371000     		do = 1425.62540530065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34016024--0.33977674) × cos(-0.94800217) × R
    0.000383499999999981 × 0.583306993438132 × 6371000     		du = 1425.18143596696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94777844)-sin(-0.94800217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583488703928234-0.583306993438132)×R²
    abs(-0.33977674--0.34016024)×0.00018171049010185×R²
    0.000383499999999981×0.00018171049010185×6371000²
    0.000383499999999981×0.00018171049010185×40589641000000     		ar = 2031746.99547306m²