Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7305 / 11146
↖ ↑ ↗
← S 54.290882°
W 19.489746°		 ← 1 426.07 m → S 54.290882°
W 19.467773°		 →
↑
1 425.83 m
↓
↑
1 425.83 m
↓
S 54.303705°
W 19.489746°		 ← 1 425.63 m →
2 033 016 m²		 S 54.303705°
W 19.467773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445892333984375 y=0.680328369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445892333984375 × 214)
    floor (0.445892333984375 × 16384)
    floor (7305.5)     		tx = 7305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680328369140625 × 214)
    floor (0.680328369140625 × 16384)
    floor (11146.5)     		ty = 11146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7305 / 11146 ti = "14/7305/11146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7305/11146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7305 ÷ 214
    7305 ÷ 16384     		x = 0.44586181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11146 ÷ 214
    11146 ÷ 16384     		y = 0.6802978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44586181640625 × 2 - 1) × π
    -0.1082763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34016024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6802978515625 × 2 - 1) × π
    -0.360595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.13284481182117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34016024} λ = -0.34016024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13284481182117))-π/2
    2×atan(0.322115593503796)-π/2
    2×0.311620844135294-π/2
    0.623241688270587-1.57079632675     		φ = -0.94755464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34016024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.489746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94755464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.290882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7305 KachelY 11146 -0.34016024 -0.94755464 -19.489746 -54.290882
    Oben rechts KachelX + 1 7306 KachelY 11146 -0.33977674 -0.94755464 -19.467773 -54.290882
    Unten links KachelX 7305 KachelY + 1 11147 -0.34016024 -0.94777844 -19.489746 -54.303705
    Unten rechts KachelX + 1 7306 KachelY + 1 11147 -0.33977674 -0.94777844 -19.467773 -54.303705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94755464--0.94777844) × R
    0.000223799999999996 × 6371000     		dl = 1425.82979999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94755464--0.94777844) × R
    0.000223799999999996 × 6371000     		dr = 1425.82979999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34016024--0.33977674) × cos(-0.94755464) × R
    0.000383499999999981 × 0.58367044205109 × 6371000     		do = 1426.06944214885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34016024--0.33977674) × cos(-0.94777844) × R
    0.000383499999999981 × 0.583488703928234 × 6371000     		du = 1425.62540530065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94755464)-sin(-0.94777844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58367044205109-0.583488703928234)×R²
    abs(-0.33977674--0.34016024)×0.000181738122855934×R²
    0.000383499999999981×0.000181738122855934×6371000²
    0.000383499999999981×0.000181738122855934×40589641000000     		ar = 2033015.75548559m²