Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7304 / 11256
↖ ↑ ↗
← S 55.677585°
W 19.511718°		 ← 1 377.60 m → S 55.677585°
W 19.489746°		 →
↑
1 377.41 m
↓
↑
1 377.41 m
↓
S 55.689972°
W 19.511718°		 ← 1 377.17 m →
1 897 226 m²		 S 55.689972°
W 19.489746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445831298828125 y=0.687042236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445831298828125 × 214)
    floor (0.445831298828125 × 16384)
    floor (7304.5)     		tx = 7304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687042236328125 × 214)
    floor (0.687042236328125 × 16384)
    floor (11256.5)     		ty = 11256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7304 / 11256 ti = "14/7304/11256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7304/11256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7304 ÷ 214
    7304 ÷ 16384     		x = 0.44580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11256 ÷ 214
    11256 ÷ 16384     		y = 0.68701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44580078125 × 2 - 1) × π
    -0.1083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34054373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68701171875 × 2 - 1) × π
    -0.3740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.17502928348682
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34054373} λ = -0.34054373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17502928348682))-π/2
    2×atan(0.308809936523908)-π/2
    2×0.299519579641627-π/2
    0.599039159283253-1.57079632675     		φ = -0.97175717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34054373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.511718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97175717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.677585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7304 KachelY 11256 -0.34054373 -0.97175717 -19.511718 -55.677585
    Oben rechts KachelX + 1 7305 KachelY 11256 -0.34016024 -0.97175717 -19.489746 -55.677585
    Unten links KachelX 7304 KachelY + 1 11257 -0.34054373 -0.97197337 -19.511718 -55.689972
    Unten rechts KachelX + 1 7305 KachelY + 1 11257 -0.34016024 -0.97197337 -19.489746 -55.689972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97175717--0.97197337) × R
    0.0002162 × 6371000     		dl = 1377.4102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97175717--0.97197337) × R
    0.0002162 × 6371000     		dr = 1377.4102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34054373--0.34016024) × cos(-0.97175717) × R
    0.000383489999999986 × 0.563849194755044 × 6371000     		do = 1377.60469195506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34054373--0.34016024) × cos(-0.97197337) × R
    0.000383489999999986 × 0.563670626805425 × 6371000     		du = 1377.16841209954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97175717)-sin(-0.97197337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563849194755044-0.563670626805425)×R²
    abs(-0.34016024--0.34054373)×0.000178567949618902×R²
    0.000383489999999986×0.000178567949618902×6371000²
    0.000383489999999986×0.000178567949618902×40589641000000     		ar = 1897226.29349497m²