Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7302 / 10968
↖ ↑ ↗
← S 51.944265°
W 19.555664°		 ← 1 506.10 m → S 51.944265°
W 19.533691°		 →
↑
1 505.85 m
↓
↑
1 505.85 m
↓
S 51.957807°
W 19.555664°		 ← 1 505.65 m →
2 267 625 m²		 S 51.957807°
W 19.533691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445709228515625 y=0.669464111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445709228515625 × 214)
    floor (0.445709228515625 × 16384)
    floor (7302.5)     		tx = 7302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669464111328125 × 214)
    floor (0.669464111328125 × 16384)
    floor (10968.5)     		ty = 10968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7302 / 10968 ti = "14/7302/10968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7302/10968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7302 ÷ 214
    7302 ÷ 16384     		x = 0.4456787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10968 ÷ 214
    10968 ÷ 16384     		y = 0.66943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4456787109375 × 2 - 1) × π
    -0.108642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34131073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66943359375 × 2 - 1) × π
    -0.3388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.06458266676221
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34131073} λ = -0.34131073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06458266676221))-π/2
    2×atan(0.344871751183298)-π/2
    2×0.332098938573274-π/2
    0.664197877146547-1.57079632675     		φ = -0.90659845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34131073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.555664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90659845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.944265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7302 KachelY 10968 -0.34131073 -0.90659845 -19.555664 -51.944265
    Oben rechts KachelX + 1 7303 KachelY 10968 -0.34092723 -0.90659845 -19.533691 -51.944265
    Unten links KachelX 7302 KachelY + 1 10969 -0.34131073 -0.90683481 -19.555664 -51.957807
    Unten rechts KachelX + 1 7303 KachelY + 1 10969 -0.34092723 -0.90683481 -19.533691 -51.957807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90659845--0.90683481) × R
    0.000236360000000047 × 6371000     		dl = 1505.8495600003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90659845--0.90683481) × R
    0.000236360000000047 × 6371000     		dr = 1505.8495600003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34131073--0.34092723) × cos(-0.90659845) × R
    0.000383499999999981 × 0.616427730073519 × 6371000     		do = 1506.10461969236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34131073--0.34092723) × cos(-0.90683481) × R
    0.000383499999999981 × 0.616241600276933 × 6371000     		du = 1505.64985276215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90659845)-sin(-0.90683481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616427730073519-0.616241600276933)×R²
    abs(-0.34092723--0.34131073)×0.000186129796586276×R²
    0.000383499999999981×0.000186129796586276×6371000²
    0.000383499999999981×0.000186129796586276×40589641000000     		ar = 2267624.58414454m²