Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7301 / 11189
↖ ↑ ↗
← S 54.838664°
W 19.577637°		 ← 1 407 m → S 54.838664°
W 19.555664°		 →
↑
1 406.78 m
↓
↑
1 406.78 m
↓
S 54.851315°
W 19.577637°		 ← 1 406.56 m →
1 979 031 m²		 S 54.851315°
W 19.555664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445648193359375 y=0.682952880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445648193359375 × 214)
    floor (0.445648193359375 × 16384)
    floor (7301.5)     		tx = 7301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682952880859375 × 214)
    floor (0.682952880859375 × 16384)
    floor (11189.5)     		ty = 11189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7301 / 11189 ti = "14/7301/11189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7301/11189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7301 ÷ 214
    7301 ÷ 16384     		x = 0.44561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11189 ÷ 214
    11189 ÷ 16384     		y = 0.68292236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.1087646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34169422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68292236328125 × 2 - 1) × π
    -0.3658447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.14933510529047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34169422} λ = -0.34169422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14933510529047))-π/2
    2×atan(0.316847369497551)-π/2
    2×0.306840544686895-π/2
    0.613681089373789-1.57079632675     		φ = -0.95711524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34169422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.577637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95711524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.838664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7301 KachelY 11189 -0.34169422 -0.95711524 -19.577637 -54.838664
    Oben rechts KachelX + 1 7302 KachelY 11189 -0.34131073 -0.95711524 -19.555664 -54.838664
    Unten links KachelX 7301 KachelY + 1 11190 -0.34169422 -0.95733605 -19.577637 -54.851315
    Unten rechts KachelX + 1 7302 KachelY + 1 11190 -0.34131073 -0.95733605 -19.555664 -54.851315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95711524--0.95733605) × R
    0.00022080999999996 × 6371000     		dl = 1406.78050999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95711524--0.95733605) × R
    0.00022080999999996 × 6371000     		dr = 1406.78050999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34169422--0.34131073) × cos(-0.95711524) × R
    0.000383489999999986 × 0.575880767494175 × 6371000     		do = 1407.00040841827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34169422--0.34131073) × cos(-0.95733605) × R
    0.000383489999999986 × 0.575700233841436 × 6371000     		du = 1406.5593259278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95711524)-sin(-0.95733605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575880767494175-0.575700233841436)×R²
    abs(-0.34131073--0.34169422)×0.00018053365273929×R²
    0.000383489999999986×0.00018053365273929×6371000²
    0.000383489999999986×0.00018053365273929×40589641000000     		ar = 1979030.50704059m²