Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7299 / 11159
↖ ↑ ↗
← S 54.457267°
W 19.621582°		 ← 1 420.27 m → S 54.457267°
W 19.599610°		 →
↑
1 420.03 m
↓
↑
1 420.03 m
↓
S 54.470038°
W 19.621582°		 ← 1 419.82 m →
2 016 508 m²		 S 54.470038°
W 19.599610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445526123046875 y=0.681121826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445526123046875 × 214)
    floor (0.445526123046875 × 16384)
    floor (7299.5)     		tx = 7299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681121826171875 × 214)
    floor (0.681121826171875 × 16384)
    floor (11159.5)     		ty = 11159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7299 / 11159 ti = "14/7299/11159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7299/11159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7299 ÷ 214
    7299 ÷ 16384     		x = 0.44549560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11159 ÷ 214
    11159 ÷ 16384     		y = 0.68109130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44549560546875 × 2 - 1) × π
    -0.1090087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34246121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68109130859375 × 2 - 1) × π
    -0.3621826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13783024938165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34246121} λ = -0.34246121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13783024938165))-π/2
    2×atan(0.320513702706258)-π/2
    2×0.310168860797451-π/2
    0.620337721594902-1.57079632675     		φ = -0.95045861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34246121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.621582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95045861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.457267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7299 KachelY 11159 -0.34246121 -0.95045861 -19.621582 -54.457267
    Oben rechts KachelX + 1 7300 KachelY 11159 -0.34207772 -0.95045861 -19.599610 -54.457267
    Unten links KachelX 7299 KachelY + 1 11160 -0.34246121 -0.95068150 -19.621582 -54.470038
    Unten rechts KachelX + 1 7300 KachelY + 1 11160 -0.34207772 -0.95068150 -19.599610 -54.470038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95045861--0.95068150) × R
    0.000222889999999976 × 6371000     		dl = 1420.03218999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95045861--0.95068150) × R
    0.000222889999999976 × 6371000     		dr = 1420.03218999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34246121--0.34207772) × cos(-0.95045861) × R
    0.000383490000000042 × 0.581309987821605 × 6371000     		do = 1420.26515982062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34246121--0.34207772) × cos(-0.95068150) × R
    0.000383490000000042 × 0.581128611761183 × 6371000     		du = 1419.82201914725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95045861)-sin(-0.95068150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581309987821605-0.581128611761183)×R²
    abs(-0.34207772--0.34246121)×0.000181376060421679×R²
    0.000383490000000042×0.000181376060421679×6371000²
    0.000383490000000042×0.000181376060421679×40589641000000     		ar = 2016507.6166176m²