Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7293 / 10978
↖ ↑ ↗
← S 52.079506°
W 19.753418°		 ← 1 501.52 m → S 52.079506°
W 19.731445°		 →
↑
1 501.33 m
↓
↑
1 501.33 m
↓
S 52.093008°
W 19.753418°		 ← 1 501.07 m →
2 253 931 m²		 S 52.093008°
W 19.731445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445159912109375 y=0.670074462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445159912109375 × 214)
    floor (0.445159912109375 × 16384)
    floor (7293.5)     		tx = 7293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670074462890625 × 214)
    floor (0.670074462890625 × 16384)
    floor (10978.5)     		ty = 10978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7293 / 10978 ti = "14/7293/10978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7293/10978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7293 ÷ 214
    7293 ÷ 16384     		x = 0.44512939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10978 ÷ 214
    10978 ÷ 16384     		y = 0.6700439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44512939453125 × 2 - 1) × π
    -0.1097412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34476218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6700439453125 × 2 - 1) × π
    -0.340087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.06841761873181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34476218} λ = -0.34476218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06841761873181))-π/2
    2×atan(0.343551717332839)-π/2
    2×0.330918737117626-π/2
    0.661837474235253-1.57079632675     		φ = -0.90895885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34476218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.753418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90895885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.079506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7293 KachelY 10978 -0.34476218 -0.90895885 -19.753418 -52.079506
    Oben rechts KachelX + 1 7294 KachelY 10978 -0.34437869 -0.90895885 -19.731445 -52.079506
    Unten links KachelX 7293 KachelY + 1 10979 -0.34476218 -0.90919450 -19.753418 -52.093008
    Unten rechts KachelX + 1 7294 KachelY + 1 10979 -0.34437869 -0.90919450 -19.731445 -52.093008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90895885--0.90919450) × R
    0.000235650000000032 × 6371000     		dl = 1501.3261500002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90895885--0.90919450) × R
    0.000235650000000032 × 6371000     		dr = 1501.3261500002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34476218--0.34437869) × cos(-0.90895885) × R
    0.000383489999999986 × 0.614567408510767 × 6371000     		do = 1501.52018192542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34476218--0.34437869) × cos(-0.90919450) × R
    0.000383489999999986 × 0.614381495573968 × 6371000     		du = 1501.06595668859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90895885)-sin(-0.90919450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614567408510767-0.614381495573968)×R²
    abs(-0.34437869--0.34476218)×0.000185912936798593×R²
    0.000383489999999986×0.000185912936798593×6371000²
    0.000383489999999986×0.000185912936798593×40589641000000     		ar = 2253930.55419514m²