Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7290 / 11187
↖ ↑ ↗
← S 54.813348°
W 19.819336°		 ← 1 407.92 m → S 54.813348°
W 19.797363°		 →
↑
1 407.74 m
↓
↑
1 407.74 m
↓
S 54.826008°
W 19.819336°		 ← 1 407.48 m →
1 981 669 m²		 S 54.826008°
W 19.797363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444976806640625 y=0.682830810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444976806640625 × 214)
    floor (0.444976806640625 × 16384)
    floor (7290.5)     		tx = 7290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682830810546875 × 214)
    floor (0.682830810546875 × 16384)
    floor (11187.5)     		ty = 11187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7290 / 11187 ti = "14/7290/11187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7290/11187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7290 ÷ 214
    7290 ÷ 16384     		x = 0.4449462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11187 ÷ 214
    11187 ÷ 16384     		y = 0.68280029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4449462890625 × 2 - 1) × π
    -0.110107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34591267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68280029296875 × 2 - 1) × π
    -0.3656005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.14856811489655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34591267} λ = -0.34591267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14856811489655))-π/2
    2×atan(0.317090481606703)-π/2
    2×0.307061461443512-π/2
    0.614122922887024-1.57079632675     		φ = -0.95667340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34591267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.819336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95667340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.813348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7290 KachelY 11187 -0.34591267 -0.95667340 -19.819336 -54.813348
    Oben rechts KachelX + 1 7291 KachelY 11187 -0.34552917 -0.95667340 -19.797363 -54.813348
    Unten links KachelX 7290 KachelY + 1 11188 -0.34591267 -0.95689436 -19.819336 -54.826008
    Unten rechts KachelX + 1 7291 KachelY + 1 11188 -0.34552917 -0.95689436 -19.797363 -54.826008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95667340--0.95689436) × R
    0.000220960000000048 × 6371000     		dl = 1407.7361600003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95667340--0.95689436) × R
    0.000220960000000048 × 6371000     		dr = 1407.7361600003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34591267--0.34552917) × cos(-0.95667340) × R
    0.000383499999999981 × 0.576241930357531 × 6371000     		do = 1407.91951924098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34591267--0.34552917) × cos(-0.95689436) × R
    0.000383499999999981 × 0.576061330287118 × 6371000     		du = 1407.47826297185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95667340)-sin(-0.95689436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576241930357531-0.576061330287118)×R²
    abs(-0.34552917--0.34591267)×0.000180600070413095×R²
    0.000383499999999981×0.000180600070413095×6371000²
    0.000383499999999981×0.000180600070413095×40589641000000     		ar = 1981668.63946544m²