Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7288 / 11258
↖ ↑ ↗
← S 55.702355°
W 19.863281°		 ← 1 376.77 m → S 55.702355°
W 19.841308°		 →
↑
1 376.52 m
↓
↑
1 376.52 m
↓
S 55.714735°
W 19.863281°		 ← 1 376.33 m →
1 894 846 m²		 S 55.714735°
W 19.841308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444854736328125 y=0.687164306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444854736328125 × 214)
    floor (0.444854736328125 × 16384)
    floor (7288.5)     		tx = 7288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687164306640625 × 214)
    floor (0.687164306640625 × 16384)
    floor (11258.5)     		ty = 11258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7288 / 11258 ti = "14/7288/11258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7288/11258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7288 ÷ 214
    7288 ÷ 16384     		x = 0.44482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11258 ÷ 214
    11258 ÷ 16384     		y = 0.6871337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44482421875 × 2 - 1) × π
    -0.1103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34667966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6871337890625 × 2 - 1) × π
    -0.374267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.17579627388074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34667966} λ = -0.34667966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17579627388074))-π/2
    2×atan(0.308573173078298)-π/2
    2×0.299303414660612-π/2
    0.598606829321223-1.57079632675     		φ = -0.97218950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34667966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.863281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97218950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.702355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7288 KachelY 11258 -0.34667966 -0.97218950 -19.863281 -55.702355
    Oben rechts KachelX + 1 7289 KachelY 11258 -0.34629616 -0.97218950 -19.841308 -55.702355
    Unten links KachelX 7288 KachelY + 1 11259 -0.34667966 -0.97240556 -19.863281 -55.714735
    Unten rechts KachelX + 1 7289 KachelY + 1 11259 -0.34629616 -0.97240556 -19.841308 -55.714735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97218950--0.97240556) × R
    0.000216059999999962 × 6371000     		dl = 1376.51825999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97218950--0.97240556) × R
    0.000216059999999962 × 6371000     		dr = 1376.51825999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34667966--0.34629616) × cos(-0.97218950) × R
    0.000383499999999981 × 0.563492090336969 × 6371000     		do = 1376.76810924031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34667966--0.34629616) × cos(-0.97240556) × R
    0.000383499999999981 × 0.563313585383596 × 6371000     		du = 1376.33197192559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97218950)-sin(-0.97240556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563492090336969-0.563313585383596)×R²
    abs(-0.34629616--0.34667966)×0.000178504953373348×R²
    0.000383499999999981×0.000178504953373348×6371000²
    0.000383499999999981×0.000178504953373348×40589641000000     		ar = 1894846.27403723m²